1.4. Ранжирование выборочных данных, вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, запишем все заданные значения выборки

в виде неубывающей последовательности значений случайной величины X, представленные в табл.1.2.

Таблица 1.2 - Ранжированный ряд

1	31,17	11	37,85	21	40,29	31	42,33	41	44,09	51	47,95
2	31,84	12	37,89	22	40,38	32	42,41	42	44,1	52	48,32
3	34,68	13	38,29	23	40,87	33	42,93	43	44,21	53	48,36
4	34,83	14	38,35	24	41,26	34	42,94	44	44,26	54	49,06
5	35,41	15	38,96	25	41,61	35	42,97	45	44,33	55	49,34
6	35,95	16	39,43	26	41,62	36	43,04	46	44,4	56	49,38
7	36,33	17	39,47	27	41,67	37	43,35	47	44,8	57	49,39
8	36,64	18	39,48	28	41,71	38	43,4	48	45,42	58	51,85
9	36,71	19	40,09	29	41,75	39	43,51	49	45,49	59	52,31
10	37,12	20	40,26	30	41,77	40	43,86	50	46,4	60	53,68

Интервал [31,17; 53,68], содержащий все элементы выборки, разобьём на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

_(1.14)

Вычисляем границы интервалов:

За начало первого интервала принимаем значение

_(1.15)

Далее вычисляем границы интервалов:

Вычисление границ заканчивается, как только выполняется неравенство , то есть .

После определения частичных интервалов, определяем экспериментальные частоты n_i , равные числу членов вариационного ряда, попадающих в этот интервал:

x_i-1 ≤ x_(s) < x_i , (1.16)

где xi-1, xi – границы i-го интервала; x(s) – значения вариационного ряда.

Набор частот n1,n2,…, nk должен удовлетворять равенству:

n₁ + n₂ +…+ n_k = = n (1.17)

Относительной частотой Wi называют долю наблюдений, попадающих

в рассматриваемый интервал:

W_i = (1.18)

Плотность распределения относительных частот определим как

отношение относительных частот к величине интервала:

, (1.19)

где является серединой интервала [xi-1; xi).

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны эмпирической плотности распределения:

͡p_i = , (1.20)

где i=1,2,…, k.

Площадь i-го прямоугольника равна доле случайных величин, попавших в i-й интервал:

S_i = ͡p_i h = _(1.21)

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме площадей прямоугольников:

S = (1.22)

Таким образом, функция является статистическим аналогом плотности распределения случайной величины Х, реализации которой получают при статистическом наблюдении. Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют середины горизонтальных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия с вершинами в точках: , ͡p_{i (1.23)}

По результатам вычислений составим табл.1.3 значений выборочной функции плотности. В первую строку таблицы поместим частичные интервалы, во вторую строку – середины интервалов, в третью строку запишем частоты – количество элементов выборки, попавших в каждый частичный интервал, в четвёртую строку запишем относительные частоты, в пятую строку запишем значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности.

Таблица 1.3 - Значения выборочной функции плотности

	[29,54; 32,8)	[32,8; 36,06)	[36,06; 39,32)	[39,32; 42,58)	[42,58; 45,84)	[45,84; 49,1)	[49,1; 52,36)	[52,36; 55,62)
	31,17	34,43	37,69	40,95	44,21	47,47	50,73	53,99
	2	4	9	17	17	4	6	1
	0,0333	0,0667	0,15	0,2833	0,2833	0,0667	0,1	0,0167
	0,0102	0,0204	0,0460	0,0869	0,0869	0,0204	0,0307	0,0051

По результатам вычислений функции плотности, представленной в таблице 1.3 можно сделать вывод, что в интервалах [39,32; 42,58) и [42,58; 45,84) больше всего элементов – по 17 в каждом. Объедим эти интервалы в один и вычислим моду: мода имеет один локальный максимум в окрестностях точки х = 44,21 с частотой n_i = 18.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд, для которого n = 2k = 60 и k = 30:

_(1.24)

Сравнение оценок медианы = 42,05 и оценки математического ожидания показывает, что они отличаются на 0,997%.