1.2. Вычисление основных числовых характеристик выборочных наблюдений
1. Среднее арифметическое случайной величины Х
(1.1)
2. Среднее линейное отклонение
(1.2)
3. Смещённая оценка дисперсии случайной величины Х
(1.3)
4. Несмещённая оценка дисперсии случайной величины Х
(1.4)
5. Смещённое среднее квадратическое отклонение
(1.5)
6. Несмещённое среднее квадратическое отклонение
(1.6)
7. Коэффициент вариации
(1.7)
8. Коэффициент асимметрии случайной величины Х
(1.8)
9. Коэффициент эксцесса случайной величины X
(1.9)
10. Вариационный размах
(1.10)
На основании полученных вычислений можно сделать следующие
выводы:
1. Необходимое условие V< 33% для того, чтобы выборка имела
нормальный закон распределения, выполняется:
V = 11,47% < 33%.
2. Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю:
As=E=0
Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии распределения случайной величины. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (среднее значение), то коэффициент асимметрии равен 0.
Для выборочных распределений, как правило, коэффициент асимметрии отличен от нуля. Асимметрия положительна, если длинная часть кривой распределения расположена справа от математического ожидания. Асимметрия отрицательна, если длинная часть кривой расположена слева от математического ожидания. Если кривая плотности распределения симметрична, имеет одну вершину, то среднее значение X , мода Мо и медиана Ме совпадают.
По результатам вычисления асимметрия As= 0,129. В нашем случае асимметрия положительна, это значит, что «длинная часть» функции плотности расположена справа от математического ожидания.
Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой.
Если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую
вершину, чем нормальная кривая. Если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и плоскую вершину, чем нормальная.
Коэффициент эксцесса равен Е= -0,186. Он отрицательный, а это означает, что функция плотности имеет более низкую и плоскую вершину, чем плотность нормального распределения.
1.3. Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии
Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся формулой:
,
(1.11)
где а = М(Х) – математическое ожидание, tn−1,p – процентная точка распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы; p – доверительная вероятность.
Подставляем в
формулу вычисленные ранее значения
,
и N.
В результате получим:
Задаёмся доверительной
вероятностью
;
.
Для каждого значения
(i=1,2)
находим по таблице (приложение А) значения
и
вычисляем два варианта интервальных
оценок для математического ожидания.
При
находим
Доверительный интервал для а = М(Х) имеет вид: 40,9403 < a < 43,4397.
При
находим
Доверительный интервал для а = М(Х) имеет вид: 40,528 < a < 43,852
Для интервальной оценки дисперсии существуют следующие неравенства:
(1.12)
Подставляем в
неравенство известные значения N
и
получим
неравенство, в котором неизвестны
и
.
Задаваясь
доверительной вероятностью
(или уровнем значимости а)
вычисляем значения
и
.
Используем эти два значения и степень
свободы V=N-1
по таблице находим
и
и
- это границы интервала, в который
попадает случайная величина Х, имеющая
распределение вероятности
и заданной степени свободы V.
Для =0,95, (1 – р1)/2 = 0,025, (1 + р1)/2 = 0,975 и V=59 находим по таблице (приложение Б):
Подставляя в неравенства и и произведя вычисления, получим интервальную оценку:
16,609
34,179
Для
,
;
и V=59
находим по таблице приложения Б:
Подставляя в неравенства и и произведя вычисления, получим интервальную оценку:
15,047 39,940
Для интервальной оценки среднего квадратического отклонения имеем
(1.14)
При получаем доверительный интервал:
При доверительный интервал:
