5. Рівняння стану ідеального газу

Наслідком дослідних законів ідеального газу є рівняння Клапейрона, яке виконується для даної маси газу (т = const):

або .

У цьому рівнянні стала (const) різна для різних газів.

Менделєєв об’єднав рівняння Клапейрона із законом Авогадро, записавши це рівняння для одного моля газу. Оскільки молі будь-яких газів при однакових температурі й тиску займають однакові об’єми, то:

,

де V_m – молярний об’єм;

R = 8,31 Дж/мольК – молярна газова стала (однакова для всіх газів).

Тоді для довільної маси газу виконується рівняння Менделєєва-Клапейрона:

або ,

де – кількість речовини (кількість молів);

М – молярна маса.

Тут враховано, що V = V_m.

Рівняння Менделєєва-Клапейрона є рівнянням стану ідеального газу, яке пов’язує основні термодинамічні параметри P, V, T.

Інший вигляд рівняння стану можна отримати уведенням нової сталої, яка називається сталою Больцмана: =1,3810^-23 Дж/К. Тоді рівняння Менделєєва-Клапейрона набуває вигляду: ,

,

де – концентрація молекул.

За нормальних умов (P = P_А = 1,0310⁵ Па, T = 273 К) концентрація молекул ідеального газу дорівнює: = 2,6810²⁵ 1/моль. Це – число Лошмідта – число молекул будь-якого газу в одиниці об’єму за нормальних умов.

Як приклад використання рівняння стану визначимо кількість молекул газу у приміщенні об’ємом V=100 м³ при атмосферному тиску P_А = 1,0310⁵ Па і температурі 17С (T = 290 К). З рівняння стану спочатку визначаємо концентрацію молекул , а потім і кількість молекул за формулою N = nV =  . = 3,710²⁷ молекул

6. Основне рівняння мкт

Застосуємо до моделі ідеального газу статистичний метод для опису його властивостей, використавши основні положення МКТ (п. 2.1). Основне рівняння МКТ пов’язує параметри стану газу з характеристиками руху його молекул, тобто встановлює залежність між тиском і об’ємом газу і кінетичною енергією руху його молекул. Оскільки молекули рухаються хаотично і не взаємодіють одна з одною, тиск на стінки посудини не залежить від зіткнень молекул одна з іншою, а визначається тільки зіткненнями молекул зі стінками посудини, у якій він знаходиться. Як приклад можна навести поведінку більярдних куль на столі: зіткнення між ними ніяк не впливають на силу, з якою вони діють на стінки під час зіткнень з ними.

Р озглянемо одноатомний ідеальний газ, молекули якого рухаються хаотично, зіткнення молекул зі стінками посудини абсолютно пружні, а концентрація газу дорівнює п. Відокремимо на стінці посудини деяку площинку площиною S й обчислимо тиск, що діє на цю площинку (рис. 2.4). За час ∆t площинки досягнуть тільки ті молекули, які рухаються у напрямку осі 0х і містяться в об'ємі V циліндра з основою S і висотою υ∆t. Число цих молекул позначимо N_x. Для визначення їхнього числа зазначимо, що згідно з теорією ймовірності у будь-який момент часу вздовж кожної осі з трьох вимірів (Ох, Oy, Oz) рухається 1/3 від кількості всіх молекул N=nV, причому половина молекул рухається вздовж напрямку осі, а половина – у протилежному. Тобто число співударів з площинкою буде дорівнювати .

При пружному зіткненні з площинкою одна молекула передає їй імпульс р, який дорівнює зміні імпульсу молекули після зіткнення р_х = m_o – (-m_o)= 2m_o. Тоді за другим законом Ньютона визначаємо силу тиску на площинку:

,

а далі й тиск на площинку: .

Зазначимо, що у даному випадку  – це середня квадратична швидкість, яка визначається із співвідношення:

,

де N – загальна кількість молекул.

Тоді у результаті маємо тиск газу:

.

Це рівняння називається основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу.

Його можна переписати у вигляді: ,

де – середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули газу. Ця формула визначає зміст термодинамічної температури, а саме: термодинамічна температура є мірою середньої кінетичної енергії поступального руху молекул ідеального газу.

Перетворимо основне рівнянням молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу: = .

Тобто воно зводиться до того самого вигляду, що й рівняння Менделєєва–Клапейрона (див.п.2.1.5).