6. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів ідеального газу

Р озглянемо ізохорний процес (V=const, m=const): V₁=V₂, P₁P₂, T₁T₂. На діаграмі (рис. 2.15) (1)(2) – це процес ізохорного нагрівання, (1)(3) – процес ізохорного охолодження.

Оскільки V=const, при ізохорному процесі газ не виконує роботу А₁₂= 0, отже перший закон термодинаміки має вигляд: , або C_VT₁₂ = U₁₂,

де C_V= C_т_V=const – молярна теплоємність при постійному об’ємі;

 = т/М – кількість молів речовини.

Звідси U₁₂ = C_VT₁₂ = C_V(T₂ – Т₁). З іншого боку, U₁₂ = (див. п.2.1.2). Порівнюючи ці вирази, бачимо, що (і – число ступенів вільності молекули газу). Питома теплоємність: .

Тобто вираз для внутрішньої енергії газу можна записати через молярну теплоємність при постійному об’ємі: U = C_VT.

Р озглянемо ізобарний процес (Р = const, m=const): Р₁=Р₂, V₁V₂, T₁T₂. На діаграмі (рис. 2.16) (1)(2) – це процес ізобарного розширення газу, (1)(3) – процес ізобарного стискання.

Оскільки Р = const, робота при ізобарному процесі A₁₂ = PV₁₂ = P(V₂ – V₁) (див. п. 2.1.4), отже, перший закон термодинаміки має вигляд:

, або C_РT₁₂ = C_VT₁₂ + PV₁₂ ,

де C_P= C_т_P=const – молярна теплоємність при постійному тиску.

Використавши рівняння Менделєєва–Клапейрона для двох станів (1) і (2), отримаємо: A₁₂ = PV₂ – PV₁ =RT₂ – RT₁ = RT₁₂. Звідси маємо термодинамічний зміст молярної газової сталої: , тобто молярна газова стала визначається роботою, яка виконується 1 молем газу, при його розширенні під час нагрівання на 1 К при постійному тиску.

Підставляємо вираз для роботи до виразу для першого закону термодинаміки і отримуємо:

C_РT₁₂ = C_VT₁₂ + RT₁₂, або – рівняння Майєра.

При ізобарному процесі теплоємність більша, оскільки теплота, яка передається газу, йде не тільки на його нагрівання, але і на роботу розширення газу.

В икористовуючи вираз , отримуємо: . Питома теплоємність: .

Розглянемо ізотермічний процес (Т = const, m=const): Т₁=Т₂, V₁V₂, Р₁Р₂, для якого виконується закон Бойля–Маріотта PV = const. На діаграмі (рис. 2.17) (1)(2) – ізотермічне розширення газу, (1)(3) – ізотермічний стиск.

Оскільки Т = const, внутрішня енергія газу не змінюється U₁₂= 0, отже, перший закон термодинаміки має вигляд: , теплота, яка передається газу, витрачається тільки на виконання газом роботи проти зовнішніх сил.

Теплоємність при постійній температурі: C_Т= C_т_Т=const = .

Використавши вираз для роботи газу і рівняння Менделєєва–Клапейрона , знайдемо роботу, яка виконується газом в ізотермічному процесі:

= = .

Якщо V₂ >V₁ A₁₂>0, газ ізотермічно розширюється й виконує додатну роботу, якщо ж V₂ <V₁ A₁₂<0, робота ізотермічного стискання газу від’ємна.

7. Адіабатний процес

Адіабатним процесом називається такий процес, який відбувається без теплообміну термодинамічної системи з навколишнім середовищем (Q₁₂ = 0).

Одним прикладом такого процесу є процес, який відбувається із газом, що знаходиться у посудині з термоізолюючими стінками. Другим прикладом адіабатного процесу є процес, який відбуваються дуже швидко, таким чином, що теплота не встигає передатися навколишньому середовищу.

Розглянемо адіабатний процес: (1) (2), Q₁₂ = 0, Р₁,V₁,Т₁ V₂, Р₂,Т₂.

Перший закон термодинаміки для адіабатного процесу має вигляд:

, або . Тобто в адіабатному процесі робота виконується газом за рахунок зміни його внутрішньої енергії: якщо газ адіабатно розширюється, його робота додатна A₁₂>0, внутрішня енергія зменшується U₁₂<0 і газ охолоджується Т₂<Т₁, якщо ж газ адіабатно стискається A₁₃<0 ( ), його внутрішня енергія і температура зростають U₁₃>0, Т₃>Т₁ (рис. 2.18).

Робота газу в адіабатному процесі знаходиться з виразу:

= –С_VT = .

Теплоємність в адіабатному процесі:

C_Q= C_т_Q=0 = .

Рівняння адіабатного процесу: PV^ = const, або . Цей вираз називають рівнянням Пуассона. Тут – показник адіабати, або коефіцієнт Пуассона, який залежить від виду газу. Оскільки 1, то крива залежності P(V)V^- у випадку адіабатного процесу спадає крутіше, ніж у випадку ізотермічного процесу P(V)V^-1 (рис. 2.18).

Інший вигляд рівняння адіабати можна отримати, використавши рівняння Менделєєва–Клапейрона й виразивши з нього тиск через об’єм і температуру

або об’єм через тиск і температуру:

або .

Розглянемо застосування першого закону термодинаміки на такому прикладі: у циліндрі під поршнем знаходиться водяна пара масою т за температури Т. Спочатку пара розширилася адіабатно, збільшивши об’єм у n₁ разів, а потім пара була стиснута ізотермічно, причому об’єм пари зменшився у n₂ разів. Визначити кінцеву температуру, роботу, виконану парою у цих процесах, і кількість теплоти, отриманої парою.

Температура й об’єм газу в адіабатному процесі (1-2) пов’язані між собою співвідношенням: , звідки . Показник адіабати , де і=6 – число ступенів вільності молекул трьохатомного газу Н₂О. Оскільки в адіабатному процесі теплообмін відсутній (Q₁₂ =0), робота

газу:

= .

Робота газу в ізотермічному процесі (2-3) може бути знайдена за формулою: А₂₃= , тобто: .

Сумарна теплота, яка отримана парою, дорівнює роботі, виконаній в ізотермічному процесі: . Знак "-" показує, що теплота була віддана парою в навколишнє середовище при стисканні газу.

Сумарна робота: .

Кінцева температура .