2. Элементы комбинаторики

Комбинаторикой (от латинского combinare - соединять) называют раздел математики, в котором изучаются задачи на подсчёт количества комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, которые можно составлять из элементов данного множества. В этом смысле комбинаторика - это часть теории множеств. Комбинаторные методы находят широкое применение внутри самой математики. Это и дискретная математика и линейное программирование и теория вероятностей и математическая статистика и алгебра и геометрия и теория управления и теория информации, в частности, проблема создания надежных шифров и, наоборот, создание эффективных методов декодирования. Они также эффективны и в приложениях математики в технике и естествознании (разработка сетей компьютеров, составление расписаний, контроль качества продукции и так далее.).

1. ПРИНЦИПЫ КОМБИНАТОРИКИ. B основе решения комбинаторных задач лежат два принципа: - принцип суммы и принцип произведения.

1.1. Принцип суммы. Если существует m способов выбрать элемент a и (независимо от них) n способов выбрать элемент b, то выбор a или b можно сделать m + n способами. Например, если в группе 7 мальчиков и 9 девочек, то выбор “мальчик или девочка” можно сделать 16 способами - выбрать либо одного из 7 мальчиков, либо одну из 9 девочек.

1.2. Принцип произведения. Если элемент можно выбрать способами, а после него и независимо от него элемент а₂ - n₂ способами, элемент a_k - n_k сnособами, то набор (а₁,.., a_k ) можно выбратъ сnособами. Например, если в нашем распоряжении m способов выбрать элемент a и n способов выбрать элемент b, то пару (а, b) можно выбрать mn способами. Таким образом, пару “мальчик и девочка” можно выбрать способами. Ещё пример: Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белyю и чёрную ладью так, чтобы они не били друг друга? Поле для белой ладьи можно выбрать 64 способами. Независимо от этого выбора, ладья бьёт 15 полей, поэтомy для черной ладьи остается 64 - 15= 49 пoлей. В более сложном случае надо сначала выбрать элемент а, а потом, в зависимости от этого выбора, элемент b. Но если элемент а можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора элемент b можно выбрать n способами, то число различных пар (а,b) опять равно mn. С помощью правил суммы и произведения можно решать любые задачи комбинаторики. Но это не удобно, это всё равно, что сводить решение любой геометрической задачи к аксиомам. Поэтому в комбинаторике есть несколько простейших, стандартных задач, к которым часто удается свести решение других задач.

2. Основные теоремы комбинаторики.

2.1. Перестановки.

Число перестановок Р из n различных элементов (от французского слова permutation, что и означает перестановка) равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n: Первый элемент в перестановке из n элементов можно выбрать n способами, второй (после выбора первого) можно выбрать (n-1) способами, третий – (n-2) способами и т. д. Перемножая способы выбора 1-го элемента со способами выбора 2-го, со способами выбора 3-го элемента и т. д, (принцип произведения) получим способов. Таким образом, При этом полагают 0! =1! = 1.

Пример. Назовём словом любую конечную последовательность букв русского алфавита без повторений. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова КНИГА? (Ясно, что все буквы различны. Буква К может занимать любое из 5 мест, но тогда буква Н может занимать любое из 4 мест и т.д. Таким образом, всего можно получить 5!=120 слов.)

Пример. В русском алфавите 33 различные буквы. Сколько слов, содержащих по 5 букв, можно составить, если не допускать слов, в которых две одинаковые буквы идут подряд? (Будем выбирать буквы одну за другой - сначала первую, потом вторую, третью, четвертую, пятую. Первую букву можно выбрать 33 способами - все 33 буквы русского алфавита. Вторую букву можно выбрать лишь 32 способами - ведь она должна отличаться от первой, третью букву можно выбрать тоже 32 способами - она должна отличаться от второй; четвертую и пятую буквы тоже можно выбрать 32 способами. А всего получается 33. 32 • 32 • 32 • 32 = 34 603 008 различных слов, удовлетворяющих поставленному условию.)