I. Элементы теории вероятности

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ базируется на понятии ОПЫТА (ЭКСПЕРИМЕНТА) или НАБЛЮДЕНИЯ.

Определение 1. ОПЫТОМ (ЭКСПЕРИМЕНТОМ) называют контролируемое осуществление некоторого комплекса условий S, которое можно повторить неограниченное число раз.

Комментарий. Практически речь идёт об очень большом числе мало отличающихся (в определённом смысле) между собой условий.

Определение 2. При НАБЛЮДЕНИИ мы полагаем, что комплекс условий S воспроизводится самой природой.

Определение 3. СОБЫТИЕМ называют назначенный заранее результат опыта.

Комментарий. События бывают: достоверные (всегда происходят при создании комплекса условий S), невозможные (никогда не происходят при создании комплекса условий S) и случайные.

Примеры. 1. Мы бросаем монету; заранее нельзя предсказaть, как она упадет: гербом или решкой. 2. вынимаем наугад карту из колоды. Заранее нельзя сказать, какой она будет масти.

Комментарий. Все эти примеры относятся к области случайных явлений. B каждом из них исход опыта заранее непредсказуем. Если такие опыты c неопределенным исходом повторять раз за разом, то от раза к разу результат бyдет меняться. Например, взвешивая несколько раз подряд одно и то же тело на точных весах, мы будем получать, вообще говоря, различные значения веса. B чем причина этих различии?

Во первых, в том, что условия опыта, которые нам представляются одинаковыми, собственно говоря, различны: на исход каждого из них влияет множество малых, трудно уловимых факторов, обусловливающих в своей совокyпности неопределенность исхода.

Во вторых, мы можем просто не знать всех элементов комплекса условий, достаточных для получения детерминированного результата. Например, если мы измеряем температуру кипения воды в разных точках земли, но не догадываемся о том, что она зависит от атмосферного давления, а, следовательно, от высоты подъёма над уровнем моря. «Случайность есть вообще лишь нечто такое, что имеет основание своего бытия нe в самом себе, а в другом» (Г. В. Ф. Гегель. Энциклопедия философских наук. Т. 1. Наука логики. § 145).

Определение 4. Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей называют случайным событием. Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д.

1. Вероятность по лапласу (Классическая вероятность)

Определение 5. Классическое определение вероятности. (Лаплас) Пусть для эксперимента со случайным исходом можно указать N событий A₁, A₂, ... , A_N, обладающих следующими свойствами:

1. события A₁, ... , A_N попарно несовместны, т.е. любые два из них не могут произойти вместе;

2. события A₁, ... , A_N образуют полную группу, т.е. при любом исходе эксперимента хотя бы одно из них непременно происходит (единственно возможные события);

3. события A₁, ... , A_N равновозможны, т.е. ни одно из них не является более предпочтительным, чем другое.

В этой классической схеме события A₁,A₂,...,A_N называют случаями, элементарными событиями или исходами. Тогда для вероятности любого случайного события А, связанного с данным экспериментом со случайным исходом, имеем (по определению): (1)

Вероятность события А равна отношению числа М благоприятных исходов, то есть тех исходов, появление которых влечёт за собой появление события А, к общему числу N всех возможных исходов.

Определение 6. Пространством элементарных событий  (исходов) называется множество N всех элементарных событий (исходов) {₁, …_{n …}}. Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.

Определение 7. Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.

Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (₁=Г) или решкой (₁=Р). =(Г,Р). Ясно, что

Пример. Бросание кубика: Можно по-разному перечислять исходы такого опыта.

1 способ: выпадает 6 или выпадает не 6. Исход «выпадает не 6» не элементарный, его можно разложить на совокупность более простых: «выпадает 1» или 2, или 3, 4, 5. Кроме того, они и не равновозможны: на кубике только одна грань с цифрой 6 и пять граней с не шестеркой.

2 способ: выпадает четное число или выпадает нечетное число. Исходы не элементарные (оба), но равновозможные: на кубике три грани с нечетным числом очков и три с четным.

3 способ: выпадает 1,или 2, или 3, или 4, или 5, или 6. Исходы и элементарны и равновозможны. Число таких исходов равно 6.

Пример: Найти вероятность того, что при бросании 2х кубиков сумма очков окажется не более 3.

Каждый элементарный исход – это пара чисел. Выпадает некоторое число на первом кубике и некоторое на втором: _i =( число; число); На первом кубике 6 вариантов, на втором тоже. Любое число очков на первом кубике сочетается с любым числом очков на втором, т.е., n = 6 ∙ 6 =36. Событие А – сумма очков не более трех. Благоприятствующие исходы ₁ =( 1;1); ₂ =( 1;2 ); ₃ =( 2;1 ) ,

Комментарий 1. Недостатки Модели Лапласа: 1) Вероятность определяется через равновероятность. 2) Часто непонятно, что в конкретных случаях считать исходами.

Комментарий 2. В классической модели теории вероятностей существует несколько схем рассуждений.

Про опыт, в котором можно выделить случаи (исходы) говорят, что он сводится к схеме случаев. Например, опыт «бросание монеты» сводится к схеме случаев, так как события: А1 - выпадение орла и А2 - выпадение решки несовместны, образуют полную группу и равновозможны. Опыт «бросание игральной кости» тоже сводится к схеме случаев; в нем шесть несовместных, образующих полную группу и равновозможных исходов, которые можно перенумеровать по числу выпавших очков: А„ А2, А3,А4, А5, А6.

При сведении задачи к схеме случаев надо быть осторожным. Вот две известных задачи: Парадокс Даламбера: В опыте «бросание двух монет» очевидны события: В1 - выпадение двух орлов; B2 - выпадение двух решек; В3, - выпадение одного орла и одной решки. То есть все эти события имеют одинаковую вероятность и должны появляться одинаково часто. Но В3 появляется чаще. Они не случаи, так как они не равновозможны. Событие В3 вдвое более вероятно, чем каждое из остальных. Перечислим случаи для нашего опыта: А1 - орёл на первой монете и орёл на второй; А2 - решка на первой монете и решка на второй; А3 - орёл на первой монете и решка на второй; А4, - решка на первой монете и орёл на второй. События В1 и В2 совпадают с А1 и А2. А вот событие B3 распадается на два варианта: АЗ и А4, поэтому оно вдвое вероятнее каждого из остальных.

Парадокс Кардано. При бросании двух “правильных” костей подсчитывается сумма выпавших чисел. Как 9, так и 10 можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5 и 10 = 4 + 6 = 5 + 5. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три? Необходимо учесть порядок выпадения чисел (в противном случае не все исходы были бы равновозможными). В случае двух костей 9 и 10 могут быть получены соответственно 4 и 3 способами: 9 = 3+6 = 6+3 = 4+5 = 5+4 и 10 = 4+6 = 6+4 = 5+5. Если “выбрасывать” 3 кости, ситуация меняется на противоположную: 9 можно “выбросить” 25 способами, а 10 уже 26 способами.

Вторая популярная схема – схема урн. Практически каждую задачу теории вероятностей, в которой опыт сводится к схеме случаев, можно свести к той или иной задаче, где речь идет о вынимании шаров из урн. «Задачи на урны» являются своего рода единым языком, на котором можно излагать самые разнообразные по внешней форме задачи. Инструмент, при помощи которого такие задачи решаются, называется комбинаторика.