Лекція 8. Оптимальний розподіл навантажень між паралельно працюючими агрегатами

План

1. Задачі керування розподілу вхідного та вихідного навантаження.

2. Задача керування системою паралельних апаратів, у яких речовина переходить з одного потоку в іншій.

1. Задачі керування розподілу вхідного та вихідного навантаження

Системи паралельнопрацюючих агрегатів широко поширені в харчовій промисловості. До них відносяться системи насосів, що працюють на один колектор, паралельно установлені апарати абсорбції і теплообмінні, хімічні реактори і інші технологічні агрегати. Паралельна структура має певні переваги. По-перше, вона дозволяє підвищити надійність виробництва (при поломці одного з апаратів його навантаження беруть на себе інші); по-друге, виникає можливість узгодження навантажень агрегатів різної продуктивності шляхом послідовного з'єднання ділянок з різною кількістю апаратів; по-третє, виникає можливість поступово нарощувати продуктивність технологічної схеми, підключаючи по одному агрегату до паралельних ділянок. У великому послідовно-паралельному технологічному комплексі окремі паралельні ділянки технологічної схеми часто працюють з недовантаженням, тому виникає необхідність оптимального перерозподілу навантажень.

Задача керування системою паралельно працюючих ланок ставиться при цьому таким чином: знайти дії що керують і зв'язки , що забезпечують максимум цільової функції

за умов

Задача керування найчастіше ставиться в одному з двох варіантів:

1. як задача розподілу вхідного навантаження

при

2. чи як задача розподілу вихідного навантаження

при

Прикладом першого варіанта постановки може слугувати завдання розподілу заданої кількості сировини між апаратами для досягнення максимальної продуктивності.

Використовуючи метод декомпозиції з проміжними завданнями, задаються входами ланок і знаходять характеристики оптимально керованого агрегату

На верхньому рівні розв’язують задачу розподілу навантажень між агрегатами, що керуються оптимально:

при (8)

Спосіб рішення задачі (8) істотно залежить від вигляду характеристик агрегатів . Надалі для простоти запису позначатимемо характеристику оптимально керованого агрегату (без зірочки).

Якщо залежність лінійна, тобто має вигляд

де — постійні коефіцієнти, то цільова функцій має вигляд

У даному випадку завдання розподілу навантажень є завданням лінійного програмування. Оптимальне рішення її лежить на межах області задання змінних . Для рішення цього завдання не обов'язково застосовувати стандартні методи лінійного програмування (наприклад, симплексний метод). Це рішення можна отримати набагато простіше. Для цього проведемо ранжирування ланок по величині нахилу характеристики ланки, тобто пронумеруємо ланки в порядку спаду коефіцієнта , так що

Встановимо навантаження для всіх ланок. Якщо при цьому сумарне навантаження перевищить задане , зменшимо до найнижчої межі навантаження ланки з найменшим нахилом характеристики . Потім зменшуємо навантаження ланок п—1, п —2 і т.д. до тих пір, поки спільна сума навантажень не стане рівна заданій (х₀). У результаті отримуємо такий розподіл:

Цей розподіл оптимальний, оскільки біля нього будь-який перерозподіл навантаження ланок, наприклад, зменшення навантаження ланки на величину і збільшення навантаження ланки на ту ж величину, приведе до зменшення цільової функції:

На практиці, коли спільне навантаження паралельних агрегатів близьке до максимально можливого, виявляється, що усі агрегати, окрім одного, повинні працювати постійно при максимальному навантаженні, а всі коливання спільного навантаження сприймає один агрегат, що має найменший нахил характеристики

Якщо характеристика ланки випукла, безперервна і диференційована, умова випуклості може бути записана у вигляді Завдання розподілу в цьому випадку є завданням опуклого нелінійного програмування. Для її вирішення може бути застосований метод невизначених множників Лагранжа.