Перевод из двоичной системы счисления в десятичную.

Как узнать чему равно девятизначное двоичное число N=111110100₂

Подпишем сверху каждый разряд

87654321010 - 1 разряды (степени двойки)

1 11110100₂ В двоичной системе особую роль играет двойка и ее степени. Т.о.111110100=1*2₈ +1*2₇ +1*2₆ +1*2₅ +1*2₄ +0*2₃ +1*2₂ +0*2₁ +0*2₀ =1*256+1*128+1*64 +1*32 +1*16 +0*8 +1*4 +0*2 +0*1=256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 +0 =500

Перевод в двоичную систему счисления чисел из десятичной системы счисления.

Пусть нужно перевести в двоичную систему число 234. Будем делить 234 последовательно на 2 и запоминать остатки, не забывая про нулевые.

Выписав все остатки, начиная с последнего 3 в обратном порядке, получим двоичное разложение числа.

234₁₀ = 11101010₂

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Запись числа в двоичной системе удобна для компьютера, но громоздка для человека. На помощь приходят системы, родственные двоичной восьмеричная система счисления использует 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Единица, записанная в самом младшем разряде означает просто единицу (1*8 в нулевой степени), та же единица в следующем разряде обозначает 8 (1*8 в первой), в следующем 64(1*8 во второй)и т.д.

2 1 0  1- разряды (степени восьмерки) 100₈ =1*8² +0*8¹ +0*8⁰ = 1*64+0+0=64₁₀

8 - это 2 в третьей степени. При переводе в восьмеричную систему двоичное число из трех записывается одной цифрой.

Восьмеричная запись	Двоичное представление	Впереди стоящий 0 ничего не значит
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Для перевода  из двоичной в восьмеричную число, записанное в двоичной системе делим на триады справа налево. Например , 11011100011=11 011 100 011 и заменить каждую группу одной восьмеричной цифрой 2 2 4 2 и получим 2242₈

Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады (1 в двоичной системе 1 добавляем до триады впереди 00)

6	1	1
110	001	001

 Еще компактней выглядит запись двоичного числа в шестнадцатеричной системе счисления.

Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр используются привычные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита A-10 D-13 B-11 E-14 C-12 F-15

Цифра 1 в самом младшем разряде означает 1, в следующем разряде означает 16 (в первой степени), в следующем разряде 16*16 (16²)=256, в следующем разряде 1*16³ и т.д.

100¹⁶ =256¹⁰

Цифра F, записанная в самом младшем разряде означает 15 в десятичной системе, F в следующем разряде означает 15*16 в первой степени в десятичной системе и т.д.

2 1 0 - 1 разряды (степени числа 16) Число 210₁₆=10*16²+15*16¹+0*16⁰ 210₁₆=10*256+240+0*1=2560+240+0=2800₁₀

2 1 0 BAD₁₆= 11*16₂+10*16₁+13*16₀=11*256+10*16+13*1=2816+160+13=2989₁₀

16 - это 2 в четвертой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную число двоичное число из 4-х цифр кодируется числом из одной цифры в шестнадцатеричной системе.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0

A	O	F	AOF16
1010	0000	1111

Как осуществить перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную? Необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 разряда справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатеричной цифрой

1101	1010	1101	в двоичной
11	10	13	в десятичной
B	A	D	в шестнадцатеричной

Десятичная система	Двоичная система	Шестнадцатеричная система
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F
16	10000	10