16. Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка.Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо

равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается  .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

17. Замена переменной в неопределенном интеграле

     Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:      а)  , где   – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:  ;      б)  , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:  .      Примеры.      1. Найти интеграл  .      Решение. Перепишем данный интеграл в виде  . Так как производная выражения   равна 2/х, а второй множитель 1/хотличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку  . Тогда  . Следовательно,        .      2. Найти интеграл  .      Решение.  , тогда   и        .

Интегрирование по частям

     Нахождение интеграла   по формуле   называется интегрированием по частям. Здесь U=U(х),υ=υ( x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла  , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.      При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть  подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.      Так например, для интегралов вида  ,  ,  , где P(x) – многочлен, за υ следует принять P(x), а за dU соответствует выражение  ,  . Для интегралов вида   за υ принимаются соответственно функции  , а за   – выражение P(x)dx.      

18. Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

-Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

-Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

-Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

-Вычислить интегралы от простейших дробей.

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где   - правильная рациональная дробь. 

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. 

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).  Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. 

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

Интеграл   может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции