10. Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на   и гладких на   функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если  , то имеется точка   максимума или минимума, в которой   обращается в нуль.

• Теорема Лагранжа: существует такая точка  , что

• Теорема Коши: если   на  , то существует такая точка  , что

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f '(x₀), то f '(x₀) = 0.

11. Правило Бернулли-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Условия:

1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  ,

тогда существует  .

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

Для раскрытия неопределённостей видов  ,  ,   пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа   используется следующий алгоритм:

-Выявление старшей степени переменной;

-Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа   существует следующий алгоритм:

-Разложение на множители числителя и знаменателя;

-Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа   иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть   и 

12.

- Формула Тейлора

Важнейшие разложения по формуле Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

13. Необходимые условия существования локальных экстремумов

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка   является точкой экстремума функции  , определенной в некоторой окрестности точки  .

Тогда либо производная   не существует, либо  .

Достаточные условия существования локальных экстремумов

Пусть функция   непрерывна в   и существуют конечные или бесконечные односторонние производные  . Тогда при условии

 является точкой строгого локального максимума. А если

то   является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке 

Пусть функция   непрерывна и дважды дифференцируема в точке  . Тогда при условии

 и 

 является точкой локального максимума. А если

 и 

то   является точкой локального минимума.

Пусть функция   дифференцируема   раз в точке   и  , а  .

14. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой. Точка   называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки  , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной. На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба. 

15.Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции   называется вертикальная прямая  , если   или   при каком-либо из условий:  ,  ,  . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка   принадлежала области определения функции  , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:   или  , где  .     

Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции   при   называется прямая  , если выполнены два условия:  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции   при   называется прямая  , если  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при   и при 

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при  , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая   является горизонтальной асимптотой графика   при   или  , если

Или соответственно.