«Інтегральне числення функцій однієї змінної»

1. Поняття первісної функції невизначеного інтегралу. Основні властивості невизначеного інтегралу.

2. Таблиця основних невизначених інтегралів.

3. Невизначене інтегрування підстановкою (заміна змінної) Приклади.

4. Невизначене інтегрування частинами. Основні групи функцій, що інтегруються частинами. Рекурентна формула обчислення інтегралу .

5. Інтегрування раціональних функцій. Приклади. Метод невизначених коефіцієнтів і метод закреслювання.

6. Поняття раціональної функції двох аргументів. Інтегрування функції основною тригонометричною заміною. Приклад.

7. Інтегрування дробово-лінійної ірраціональності вигляду (a,b,c,d ,ad-bc ).

8. Інтегрування квадратичних ірраціональностей вигляду підстановками Ейлера.

9. Інтегрування біноміальних диференціалів. Приклад.

10. Поняття означеного інтегралу Рімана. Необхідна умова інтегрованості функції.

11. Верхні та нижні інтегральні суми Дарбу, їх властивості та геометричний зміст.

12. Критерій інтегрованості функції за Ріманом та наслідок з нього.

13. Класи інтегрованих за Ріманом функцій.

14. Властивості інтеграла Рімана, пов’язані із знаком рівності.

15. Властивості інтеграла Рімана, пов’язані із знаком нерівності. Перша теорема про середнє.

16. Означений інтеграл, як функція верхньої межі.

17. Формула Ньютона-Лейбніца. Означене інтегрування підстановкою. Приклад.

18. Означене інтегрування частинами. Формула для обчислення інтегралу .

19. Поняття квадровної плоскої кривої. Критерії квадровності.

20. Обчислення площі криволінійної трапеції і криволінійного сектора (випадок полярних координат).

21. Поняття простої параметризованої кривої, замкненої кривої, параметризовної кривої, напрямку на кривій; гладкої кривої. Спрямлювані криві та їх властивості.

22. Спрямлюваність і довжина простої гладкої кривої. Випадок лінії, що задана явно. Випадок полярної системи координат. Приклади. Диференціал дуги.

23. Поняття кубовного тіла. Критерії кубовності тіл.

24. Кубовність і об’єм циліндра, сходинкового тіла, тіла обертання.

25. Площі поверхонь обертання.

26. Невласні інтегралм 1 роду. Критерій Коші.

27. Достатні ознаки порівняння (для невласних інтегралів 1роду)

28. Невласні інтеграли 2 роду (визначення, критерій Коші, зведення невласного інтегралу 2 роду до невласного інтегралу 1 роду, ознаки порівняння).

29. Головне значення невласних інтегралів. Приклади.

«Ряди»

1. Основні поняття числових рядів. Приклади.

2. Критерій Коші збіжності ряду та наслідки з нього.

3. Необхідна і достатня умова збіжності знакопостійного числового ряду. Ознаки порівняння для знакопостійних числових рядів.

4. Радикальна ознака Коші збіжності знакопостійних числових рядів. Ознаки Даламбера, Раабе. Приклади

5. Інтегральна .ознака Маклорена-Коші збіжності знакопостійних числових рядів та її геометрична інтерпретація. Відсутність універсального ряду порівняння.

6. Абсолютна і умовна збіжність. Збіжність абсолютно збіжного ряду.

7. Перетворення Абеля. Ознаки Дирихлє, Абеля і Лейбниця збіжності знакозмінних числових рядів.

8. Поняття збіжності в точці та рівномірної збіжності функціональних послідовностей і рядів. Критерій Коші.

9. Достатні ознаки рівномірної збіжності функціональних рядів (ознаки Вейєрштрасса, Абеля, Діріхле).

10. Теорема про неперервність суми функціонального ряду

11. Теореми про почленне інтегрування функціональних рядів і послідовностей (частковий і загальний випадки).

12. Теореми про почленне диференціювання функціональних рядів і послідовностей (частковий і загальний випадки).

13. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Радіус, інтервал і область збіжності степеневого ряду.

14. Теорема Коші-Адамара. Формули для обчислення радіусу збіжності степеневого ряду.

15. Неперервність суми степеневого ряду. Почленне інтегрування і диференціювання степеневих рядів.

16. Розклад функцій в степеневі ряди: основні теореми. Розклад функцій в степеневі ряди.

17. Визначення евклідового простору. Простір кусково-неперервних на відрізку функцій.

18. Ортогональні і ортонормовані системи. Система тригонометричних функцій.

19. Поняття ряду Фурь'є. Формуля для обчислення коефіцієнтів ряду Фурь’є.

20. Основна теорема теорії рядів Фурь'є. Ряди Фурь'є неперіодичних функцій, що задані на , на . Ряди Фурь’є парних і непарних функцій, функцій, що задані на .