44. Процессы с независимыми приращениями.

Опр. Случайный процесс ξ(t) называется процессом с независимыми приращениями, если для любого n и для любых моментов времени t₁<t₂<…<t_n СВ ξ(t₁), ξ(t₂)-ξ(t₁),…, ξ(t_n)-ξ(t_n-1) независимы.

Опр. Процесс с независимыми приращениями ξ(t) называется однородным процессом, если ξ(0)=0 и для любых моментов времени t₁<t₂ распределение СВ ξ(t₂)-ξ(t₁) зависит только от разности t₂-t₁ и не зависит от t₁.

Примером процесса с независимыми приращениями является пуассоновский процесс.

Назовем пуассоновским процессом v(t) процесс с независимыми приращениями, для которого при любых t₁<t₂ СВ v(t₂)-v(t₁) принимает только неотрицательные целые значения, v(0)=0, а также

Найдем средние характеристики пуассоновского процесса. Из (1) и того, что имеем

При помощи (1),(2) и (*) найдем ковариационную функцию

Дисперсия процесса имеет вид

Корреляционная функция равна

Т.к. корреляционная функция является непрерывной, то пуассоновский является непрерывным в среднем квадратичном. Также пуассоновский процесс не дифференцируем в среднем квадратичном.

45. Обобщенный пуассоновский процесс.

Пусть ξ(t₁), ξ(t₂),…, ξ(t_n) – моменты изменения состояний пуассоновского процесса. Таким образом t₁, t₂-t₁,…, t_n-t_n-1,…- независимые СВ с плотностью распределения Пусть η₁,η₂,…,η_n,…- СВ с общей ф.р. Н(х). Допустим, что (t₁, t₂,…, t_n,…; η₁,η₂,…,η_n,…) независимы в совокупности. Обозначим

Где v(t) – пуассоновский процесс с параметром λ. Случайный процесс ξ(t), определенный этим равенством, называется обобщенным пуассоновским процессом.

Основное свойство обобщенного пуассоновского процесса – независимость его приращений в непересекающихся интервалах времени: если n≥2 – любое число, то СВ независимы в совокупности. Действительно,

По формуле полной вероятности имеем

где

На основании свойства пуассоновского процесса можем записать

где предполагается, что a_-1=0. Если теперь зафиксировать v₀=k₀, v₁=k₁,…, v_n=k_n, то

Отсюда

Таким образом, ξ_i при фиксированных k₀,k₁,…,k_n представляет собой суммы независимых СВ. тогда

Подставив соотношения (4), (3) в формулу (*), найдем

Просуммируем по k₀ от 0 до ∞, приходим к формуле

откуда следует, что ζ_i независимы в совокупности. Если , , то ζ_i одинаково распределены.

46. Гауссовский случайный процесс.

Пусть случайный процесс ξ(t) задан n сечениями ξ(t₁), ξ(t₂),…, ξ(t_n), для которых известны математические ожидания Mξ(t_i)=a_i, i=1,n , и матрица ковариаций где

Опр. Случайный процесс ξ(t) называется гауссовским, или нормальным, если его n-мерная плотность распределения является нормальной:

для любого n>0. Здесь |K|-определитель матрицы К, K_ij- алгебраическое дополнение элемента K(t_i,t_j) матрицы K.

Т.(центральная предельная теорема для случайных процессов). Пусть дана последовательность сумм случайных процессов

и выполняются следующие условия:

a) при фиксированном n и любых моментах времени CB независимы и имеют конечные моменты

б) существует предел где корреляционная функция процесса η_n(t);

в) суммы η_n(t) при любом t удовлетворяют условию Линдеберга

Тогда случайный процесс η_n(t) при n→∞ сходится к гауссовскому случайному процессу с нулевым математическим ожиданием и дисперсией R(t₁, t₂).