60. Процесс гибели и размножения

Будем предполагать, что все состояния процесса регулярны. Для сокращения записей обозначим λ_nn+1=λ_n, λ_nn-1=μ_n. Тогда получаем:

p_nn+1(∆t)= λ_n ∆t+o(∆t),

p_nn-1(∆t)= μ_n ∆t+o(∆t),

p_nn(∆t)= 1-(λ_n + μ_n )∆t+o(∆t).

Можно сказать, что λ_n∆t с точностью до o(∆t) есть вероятность рождения новой особи в популяции из n особей за время ∆t, а μ_n∆t с точностью до o(∆t) - вероятность гибели особи в этой популяции за время ∆t.

Системы прямых и обратных диф. ур-ий Колмогорова для вероятностей переходов процесса имеют вид:

(1)

где μ₀= λ_-1=0, а система ур-ий для безусловных вероятностей состояний:

(2)

Ее можно записать в матричной форме , при этом инфинитезимальная матрица процесса равна

Оказывается, если выполняется условие (3), то процесс гибели и размножения эргодичен, сущ вероятности

, совокупность кот.образует единств. стацион. распределение, совпадающее с эргодическим, т.е. стационарные вероятности состояний равны финальным вероятностям состояний. Для выполнения нер-ва (3) достат., чтобы N, для кот при всех . Найдем стацион. вероятности состояний. Система ур-ий равновесия для них, как сл. из (2), имеет вид

(4)

Обознач. .Тогда из (4) получаем

откуда следует, что , для всех j = 0,1,2,…. Следовательно (4)

Вероятность найдем, используя усл. нормировки

Подставляя (4) в это усл., находим

Если то и стационар.(финал.) распределения не существует. Это означает, что эволюция процесса протекает в одну сторону, при этом номер состояния не возрастает.

63. Обобщенное уравнение Маркова

Лемма 12.1. Пусть — некоторые СВ, В— случайное со­бытие. Тогда

, (12.1)

где - условная ф.р. СВ , при условии, что . Док-во. Введем случайные события

где - точки разбиения переменной у, Тогда

Далее, используя определение условной вероятности и условной ф.р., будем иметь

Говорят, что случайный процесс непрерывен, если за малые промежутки времени лишь с малой вероятностью он может получить заметные по величине приращения.

Пусть - марковский процесс. Полная вероятностная ха­рактеристика этого процесса определяется функцией , которая называется переходной функцией марковского процесса.

Опр. Случайный процесс называется не­прерывным марковским, если для любых моментов времени

, таких, что ,и любых действительных у вы­полняется равенство

Т12.1. Переходная функция непрерывного марковско­го процесса удовлетворяет обобщенному уравнению Маркова (уравнению Чепмена - Колмогорова)

(12.3)

Д-во. В соотношении (12.1) положим а у заменим на z . Тогда, используя (12.2), имеем

откуда и следует (12.3).

Отметим некоторые свойства, которым должна удовлетворять функция . Прежде всего для нее, как для ф.р., должны быть выполнены соотношения:

Если существует плотность

а обобщенное уравнение Маркова имеет вид

, (12.4)

64.Диффузионные процессы

Среди непрерывных марковских процессов особую роль иг­рают диффузионные процессы, которые являются математической моделью движения частицы в процессе диффузии, а также пре­дельной моделью для дискретных процессов, описывающих раз­личные биологические явления.

Опр. Марковский процесс называется диффу­зионным, если его переходная функция удовлетворя­ет следующим условиям.

(12.5)

Это более точное условие непрерывности случайного процесса. Оно требует, чтобы вероятность того, что , была ве­личиной более высокого порядка малости, чем .

2. Существует функция такая, что

(12.6)

3. Существует предел

(12.7)

Заметим, что левые части равенств (12. 6), (12. 7) зависят от 5, но, в силу определения непрерывности процесса, т.е. в силу (12.5), эта зависимость является лишь кажущейся.

Для того чтобы выяснить физический смысл функций a(t, x) и b(t,x), мы несколько усилим требование непрерывности про­цесса. А именно, предположим, что вместо (12.5) при любом имеет место соотношение

(12.8)

Легко видеть, что из (12.8) следует (12.5). Условия (12.6), (12.7) могут быть записаны теперь в виде

Но

является математическим ожиданием изменения процесса за время ,а

есть математическое ожидание квадрата изменения процесса и, следовательно, пропорционально кинетической энергии в пред­положении, что является координатой движущейся под влия­нием случайных воздействий точки. Поэтому из (12.9), (12.10) ясно, что функция a(t, x) есть средняя скорость изменения процесса (и называется коэффициентом сноса, или переноса), а функция b(t, x) пропорциональна средней кинетической энергии изучаемой нами системы (называется коэффициентом диффузии).

Отметим, что при некоторых ограничениях на за­дание коэффициентов a(t, x), b(t, x) полностью определяет мар­ковский процесс.