10. Принцип двоїстості

Булева функція g(x₁,x₂,...,x_n) називається двоїстою до булевої функції f(x₁,x₂,...,x_n), якщо g(x₁,x₂,...,x_n) =  ( ₁, ₂,..., _n). Функцію, двоїсту до булевої функції f, позначають f ^*. Таким чином f ^*(x₁,x₂,...,x_n) =  ( ₁, ₂,..., _n).

Таблицю істинності функції f ^* можна одержати з таблиці істинності функції f, якщо в останній інвертувати (тобто замінити 0 на 1, 1 на 0) усі значення аргументів функції, а також усі значення в стовпчику значень функції. Із цієї властивості випливає, зокрема, що двоїстою до функції f ^* буде сама функція f, тобто (f ^*)^* = f.

Булева функція, двоїста до самої себе, тобто функція f, для якої виконується f ^* = f, називається самодвоїстою. Самодвоїста n-арна функція на протилежних наборах (₁,₂,...,_n) i ( ₁, ₂,..., _n) набуває протилежних значень.

Неважко переконатись, що диз’юнкція двоїста до кон’юнкції, нульарна функція-константа 1 двоїста до функції-константи 0, а функція заперечення - самодвоїста. Ще один приклад самодвоїстої функції - m(x,y,z) = xyxzyz (функція медіана, або функція голосування).

Користуючись означенням двоїстості, можна довести твердження, яке носить назву принципу двоїстості.

Принцип двоїстості. Якщо формула F=S(f₁,f₂,...,f_k,)=(f₁,f₂,...,f_k) реалізує булеву функцію (x₁,x₂,...,x_n), то формула F ^* = S(f₁^*,f₂^*,...,f_k^*,^*) = ^*(f₁^*,f₂^*,...,f_k^*), яка одержується з F заміною функцій f₁,f₂,...,f_k, на двоїсті функції f₁^*,f₂^*,...,f_k^*,^*, реалізує булеву функцію ^*(x₁,x₂,...,x_n), двоїсту до функції (x₁,x₂,...,x_n). Тут x₁,x₂,...,x_n - операнди формули F (усі аргументи булевих функцій f₁,f₂,...,f_k).

Справді, нехай формула F = S(f₁,f₂,...,f_k,) = (f₁,f₂,...,f_k) =  = (f₁(x₁₁,x₁₂,...,x_1l1),f₂(x₂₁,x₂₂,...,x_2l2),...,f_k(x_k1,x_k2,...,x_klk)) реалізує булеву функцію (x₁,x₂,...,x_n). Тоді

F^* =  ^*(f₁^*(x₁₁,x₁₂,...,x_1l1),f₂^*(x₂₁,x₂₂,...,x_2l2),...,f_k^*(x_k1,x_k2,...,x_klk)) =

=  ( (x₁₁,x₁₂,...,x_1l1), (x₂₁,x₂₂,...,x_2l2),..., (x_k1,x_k2,...,x_klk)) =   =  ( ₁( ₁₁, ₁₂,..., _1l1), ₂( ₂₁, ₂₂,..., _2l2),..., _k( _k1, _k2,..., _klk))   =  (f₁( ₁₁, ₁₂,..., _1l1),f₂( ₂₁, ₂₂,..., _2l2),..., f_k( _k1, _k2,..., _klk)).

Отже, формула F^*, яку природно називати формулою, двоїстою до F, реалізує булеву функцію ( ₁, ₂,..., _n), але ( ₁, ₂,..., _n) = ^*(x₁,x₂,...,x_n).

У термінах булевих формул принцип двоїстості можна сформулювати таким чином: якщо в булевій формулі F, яка зображує булеву функцію f, замінити всі операції кон’юнкції на операції диз’юнкції, операції диз’юнкції - на операції кон’юнкції, всі нульарні операції 0 замінити на 1, а всі 1 - на 0, то одержимо формулу F^*, яка зображує булеву функцію f^*, двоїсту до функції f.

Очевидно, що коли булеві функції f i g рівні між собою, то рівні й відповідні їм двоїсті функції f^* i g^*, і навпаки. Це означає, що формули F₁^* i F₂^*, двоїсті до рівносильних формул F₁ і F₂, також будуть рівносильними.

Останній висновок дозволяє для будь-якої тотожності F₁ = F₂ в алгебрі формул автоматично одержувати нову тотожність F₁^* = F₂^* для відповідних двоїстих формул. Такі тотожності можна умовно назвати двоїстими. Наприклад, пари основних тотожностей 1-8 (6.3) алгебри логіки є двоїстими. Двоїстими є також правила поглинання (6.4). Для алгебри булевих формул принцип двоїстості іноді називають ще узагальненим законом де Моргана.

Якщо M - деяка множина функцій з P₂, то через M* будемо позначати множину всіх функцій, двоїстих до функцій з M. Множина M* називається двоїстою до множини M. Якщо M* = M, то множина M називається самодвоїстою.

11. Фундаментальним поняттям формальної логіки є логічна форма мислення. Її можна визначити як форму взаємозв’язку частин мислимого змісту. Певний спосіб зв’язку може бути одним і тим самим для необмеженої кількості тверджень, кожне з яких відрізняється своїм конкретним змістом:

1) Земля є планета. 2) Сполучник є частина мови. 3) Сковорода є великий філософ і т.ін.

Загальна структура у наведених думках складається з:

а) частини, що відповідає предмету твердження (S); б) частини, що відповідає тому, що говориться про даний предмет (Р), і зв’язки «є».

S у логіці називається суб’єктом, а Р — предикатом. S і Р — змінні знаки, знак «є» — постійний знак. Зазначені вище різнорідні думки (речення) можуть бути записані логічними символами таким чином: S (є) Р.

У логіці у вигляді постійних знаків використовуються також слова природної мови: «всі» та «деякі» .

1. Всі S (є) Р; 2. Деякі S (є) Р.

Підставивши у формулу 1 замість S і Р слова або словосполучення, ми одержимо твердження про те, що один клас предметів цілком міститься в іншому певному класі предметів, що загальні ознаки предметів другого класу притаманні кожному з предметів першого класу. Підстановка певних слів і словосполучень у формулу 2 завжди буде приводом до тверджень, загальний зміст яких полягає у тому, що тільки деяка частина одного класу предметів міститься в іншому класі предметів, що загальні ознаки предметів, які становлять другий клас, притаманні лише частині предметів першого класу.

Речення простої логічної форми або структури можуть вступати між собою у логічний зв’язок, утворюючи речення більш складної логічної форми або структури, загальної для багатьох подібних тверджень (думок) різного конкретного змісту. Зокрема, речення, наведені нами у вигляді прикладів, можуть стати елементами більш складних логічних структур. які в логіці називаються умовиводом і мають багато видів та різновидів.

Розглянемо приклад умовиводу, що виводиться з простих взаємозв’язаних суджень:

Всі люди є смертні. Кай є людина. Кай є смертний.

У загальному вигляді цю структуру можна записати формулою:

Всі М є Р. Всі S є М. Отже, всі S є Р,

де М — це символ, що означає однакові за змістом вирази в першому та другому твердженнях; Р — елемент думки, яка існує в третьому твердженні після слова «є». S — елемент думки, що існує в цьому самому твердженні перед словом «є».

Водночас кожен з елементів думки, який позначається символами S і Р, міститься в одному з двох перших тверджень.

Мода́льна ло́гіка — це розділ сучасної логіки, де вивчаються модальні висловлювання та їхні відношення в структурі міркувань. Залежно від того, які види модальних висловлювань досліджуються, виділяють різні види модальних логік. Найпоширеніші часові («колись в майбутньому», «завжди у минулому», «завжди» і ін.) і просторові («тут», «десь», «близько» і ін.). Наприклад, модальна логіка здатна оперувати затвердженнями типу «Київ завжди був столицею України» або «Харків колись у минулому був столицею України», які неможливо або украй складно виразити в немодальній мові. Окрім тимчасових і просторових модальностей є та інші, наприклад «відомо, що» (логіка знання) або «можна довести, що»

Зазвичай для позначення модального оператора використовується   і подвійний до нього  :

Це відображає те, що сказати «Київ колись був столицею України» те ж саме, що сказати «не вірно, що Київ ніколи не був столицею України».

12. Математична теорія нечітких множин, запропонована Л.Заде понад чверть століття тому, дозволяє описувати нечіткі поняття і знання, оперувати цими знаннями і робити нечіткі висновки. Засновані на цій теорії методи побудови комп'ютерних нечітких систем суттєво розширюють області застосування комп'ютерів. Останнім часом нечітке управління є однією з найактивніших та результативних областей досліджень застосування теорії нечітких множин. Нечітке управління виявляється особливо корисним, коли технологічні процеси є занадто складними для аналізу за допомогою загальноприйнятих кількісних методів, або коли доступні джерела інформації інтерпретуються якісно, ​​неточно або невизначено. Експериментально показано, що нечітке управління дає кращі результати, у порівнянні з одержуваними при загальноприйнятих алгоритмах управління.

Нечіткі методи допомагають керувати домною і прокатним станом, автомобілем і поїздом, розпізнавати мову і зображення, проектувати роботів, що володіють дотиком і зором. Нечітка логіка, на якій засновано нечітке управління, ближче за духом до людського мислення і природним мовам, ніж традиційні логічні системи. Нечітка логіка, в основному, забезпечує ефективні засоби відображення невизначеностей і неточностей реального світу. Наявність математичних засобів відображення нечіткості вихідної інформації дозволяє побудувати модель, адекватну реальності.

Використання нечіткої логіки найбільш математично адекватне для рішення проблеми оцінки ризиків в процесі управління ними. Використовуючи нечітку логіку для обробки недетерміно- ваних даних, можна оперувати лінгвістичними змінними, які є більш природними для людського розуміння при описанні елементів економічних систем.

Як було зазначено у розділі 1, ризик - це можливість потерпіти збиток, аж до банкрутства або перейти на новий, більш високий рівень, можливість уникнути загроз або не впоратися ними, можливість виявити чинність або слабість, стосовно якої-небудь події. Розглядати ж ризикові ситуації вірніше всього з погляду стратегії, тобто з організаційної вершини підприємства, тому що прийняття господарського рішення проходить саме на найвищих рівнях. І від того, наскільки вірним буде це рішення, залежить саме існування будь-якого суб'єкта господарювання. Існує велика кількість моделей стратегічного планування, з погляду яких існує необхідність розглядати ризики підприємства.

13. Потужність множини, або кардинальне число множини, — характеристика множин (у тому числі нескінченних), що узагальнює поняття кількості (числа) елементів скінченної множини.

В основі цього поняття лежать природні уявлення про порівняння множин:

1. Будь-які дві множини, між елементами яких може бути встановлено взаємно однозначну відповідність (Бієкція), містять однакову кількість елементів (мають однакову потужність).

2. Зворотно: множини, рівні за потужністю, мусять допускати таке взаємно однозначну відповідність.

3. Частина множини не перевершує повної множини за потужністю (тобто за кількістю елементів).

До побудови теорії потужності множин, множини розрізнялися за ознаками: порожня/непорожня і скінченна/нескінченна, також скінченні множини розрізнялися за кількістю елементів. Нескінченні ж множини не можна було порівняти.

Потужність множин дозволяє порівнювати нескінченні множини. Наприклад зліченні множини є самими «маленькими» нескінченними множинами.

Потужність множини   позначається через  . Сам Кантор використовував позначення  . Іноді зустрічаються позначення   и  .

Клас еквівалентності елемента   множини   за заданим на цій множині відношенням еквівалентності є підмножина множини  , що складається з елементів еквівалентних  :

Класи еквівалентності між елементами структур часто використовуються для отримання меншої структури, елементами якої є класи. Зв’язок кожного елемента класу поділяється принаймні з одним іншим елементом іншого класу. Клас можна вважати тотожністю одного з оригінальних елементів.

Відношення еквівалентності є бінарним відношенням, яке має три властивості:

• Для кожного елемента a із X, a ~ a (рефлексивність),

• Для кожних двох елементів a і b з X, якщо a ~ b, то і b ~ a (симетрія)

• Для кожних трьох елементів a, b і c з X, якщо a ~ b і b ~ c, то a ~ c (транзитивність).

Клас еквівалентності елемента a позначається [a] і може визначатися як множина.

Альтернативне позначення [a]_R може бути використане для позначення класу еквівалентності елемента зокрема у відношенні R. Це називається R-класу еквівалентність. Множина всіх еквівалентних класів в X даного відношення еквівалентності позначається як X/~ і називається фактор-множина X на ~. Кожне відношення еквівалентності має канонічну проекцію,сюр'ективну функцію π з X де X/~ задано π(x) = [x].