5. Аналітичний запис визначника.

Розглянемо визначник n- го порядку

Кожен добуток, з яких складається визначник, можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати у вигляді a_1α1 a_2α2… a_nαn, де α₁, α₂,.., α_n- перестановка чисел 1, 2,...,n. Позначимо через s(α₁, α₂,.., α_n) число інверсій в перестановці α₁, α₂,.., α_n . Тоді знак, з яким добуток a_1α1 a_2α2… a_nαn входить у визначник Δ визначається парністю перестановки α₁, α₂,.., α_n, тобто його можна подати, як . Звідси

Сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2, ..., n.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ і Δ₁ визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток a_1α1 a_2α2… a_nαn , упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику при цьому добутку знак . Будемо упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α₁, α₂,.., α_n цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,..., перейшла в перестановку β₁, β₂,…, β_n за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ₁ при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α₁, α₂,.., α_n) і S(β₁, β₂,…, β_n) однакові парності. Від перестановки α₁, α₂,.., α_n можна перейти за допомогою транспозицій до перестановки 1, 2,..., , від перестановки 1, 2,..., можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки за допомогою транспозицій. Це означає, що від перестановки до перестановки через перестановку 1, 2,..., можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки = . Знаки при довільному добутку у визначниках і співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n.

6. Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента a_ij називається визначник M_ij, який одержуються викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. a_ij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента a_ij називається число

.A_ij=(-1)^i+j M_ij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ та доведемо, що всі добутки, що складають доданок a_ijA_ij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку a_ijA_ij. Оскільки a_ijA_ij=(-1)^i+ja_ijM_ij, довільний добуток з доданку a_ijA_ij має вигляд (-1)^i+ja_ija_1α1a_2α2… a_i-1αi-1 a_i+1αi+1…a_nαn. Оскільки визначник M_ij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник M_ij немає індекса i, а серед других індексів α₁, α₂,…, α_i-1, α_i+1,…, α_n, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α₁, α₂,…, α_i-1, α_i+1,…, α_n число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α₁, α₂,…, α_i-1, α_i+1,…, α_n число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)^i-1+k+j-1=(-1)^I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток входить до доданку a_ijA_ij. Добуток входить до визначника M_ij зі знаком(-1)^k. Тоді добуток входить до доданку a_ijA_ij=(-1)^i+jM_ij зі знаком (-1)^i+j (-1)^k=(-1)^i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= a_ijA_ij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок a_ijA_ij, входять до визначника Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в a_ijA_ij співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник M_ij , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з a_ij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент a_ij. Число таких добутків дорівнює . Таким чином, всі добутки доданку є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= a_ijA_ij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(a_i1,a_i2,…,a_in)= (a_i1+0+..0 ..0,0+a_i2+...+0,…,0+0+…a_in). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

= +

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином, Δ= Δ= a_i1A_i1+ a_i2A_i2+…+ a_inA_in.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що a_j1A_i1+ a_j2A_i2+…+ a_jnA_in=0.. Розглянемо допоміжний визначник

Зрозуміло, що Δ₁=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ₁= a_j1A_i1+ a_j2A_i2+…+ a_jnA_in.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.