§22. Формула Тейлора

Формула Тейлора имеет много приложений и является основой приближенных вычислений. Поскольку наиболее простыми функциями являются многочлены, то возникает вопрос о возможности замены функции в окрестности точки х₀ многочленом некоторой степени.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке n производных , , …, .

Требуется найти многочлен степени не выше n, такой, что

(1),

где удовлетворяет условиям: , , …, .

Таким многочленом является

– многочлен Тейлора функции .

Многочлен удовлетворяет условию (1), то есть . Обозначим – погрешность при замене многочленом .

Теорема. Если функция определена и n раз дифференцируема в окрестности точки х₀, то при имеет место формула

– формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание. где – формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть , тогда формула Тейлора примет вид

– формула Маклорена (формула Тейлора-Маклорена) где задается в форме Пеано ( ) или в форме Лагранжа ( ).

Разложение по формуле Тейлора-Маклорена некоторых элементарных функций

1. 

…

,

где или

2. ,

где или

3. ,

где или

4. ,

где или

5. ,

где или

29