§4. Механический смысл производной

I. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону , где s – путь, пройденный за время t. – средняя скорость. Для нахождения мгновенной скорости в момент времени t₀ устремим .

Итак, .

Мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки в некоторый момент времени t₀ есть производная от пути s по времени t в данной точке t₀.

II. Пусть – функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени t. Тогда мгновенное ускорение материальной точки в фиксированный момент t₀ есть производная от v по t.

.

III. Пусть Q(t) – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры Т. Тогда теплоемкость тела равна .

IV. Пусть Ф(t) – функция, описывающая процесс изменения магнитного потока в зависимости от времени t. Тогда мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно .

V. Пусть q(t) – функция, описывающая процесс изменения заряда в колебательном контуре в зависимости от времени t. Тогда сила тока в контуре в момент t₀ равна .

В общем случае: Производная – математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией .

§5. Производные некоторых основных элементарных функций

Повторим определение производной функции в т. х

1. Возьмем х, вычислим

2. Дадим х приращение , получим , вычислим ;

3. ;

4. ;

5. (если предел существует).

1) Производная постоянной , c=const.

2) Производная y=x

3) Производная y=Sin(x)

4) Производная y=Cos(x)

5) Производная y=ln(x)

1. х,

2. , ;

3. ;

4. ;

5.

.

Замечание: –второй замечательный предел

§6. Основные правила дифференцирования

Теорема 1. Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируема их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых.

Доказательство.

Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируема их разность, причем производная разности равна разности производных.

Доказательство аналогично.

Замечание: Теоремы справедливы для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 3. Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемо их произведение, причем .

Доказательство.

Рассмотрим функцию . Найдем .

1. х, ,

2. Дадим х приращение , тогда u, v, y получат приращения , , , то есть , , . Отсюда:

3.

;

4. ;

5.

, что и требовалось доказать.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной : .

Замечание 1. Теорему 2 можно доказать с помощью теоремы 1 и следствия теоремы 3: .

Замечание 2. Формула производной произведения распространяется на любое конечное число сомножителей.

Пример:

Теорема 4. Если функции и дифференцируемы в точке х и , то в этой точке дифференцируемо их частное, причем .

Без доказательства.

§7 Производные функций y=tgx; y=ctgx.

1. y=tgx;

2. – доказать самостоятельно.