Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X приет значение, меньшее х, т.е.

Часто вместо термина (функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Функция распределения обладает следующими свойствам

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [О; 1]:

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция:

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например х₁, равна нулю:

Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а;b), то:

Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:

Свойство 4. Функция распределения непрерывна слева:

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случай­ной величины называют первую производную от функции распреде­ления: f(x)=F'(x).

Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X при­мет значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), определяется равенством:

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е. f(х) >0.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от —∞ до ∞ равен единице:

В частности, если все возможные значения случайной величины

принадлежат интервалу (а,b), то

Числовые характеристики непрерывных случайных величин