Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Простейшим (пуассоновским ) называют поток событий, который обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутст­вием последействия и ординарностью.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появле­ния k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k событий за промежуток времени длительностью f есть функция, за­висящая только от k н t.

Свойство отсутствия последействия* состоит в том. что вероят­ность появления k событий в любом промежутке времени не зависят от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появле­ния событий в ближайшем будущем.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного со­бытия за малый промежуток времени пренебрежимо мала по срав­нению с вероятностью появления только одного события.

Интенсивностью потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока λ известна, то вероят­ность появления k событий простейшего потока за время t опреде­ляется формулой Пуассона

Замечание. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным; в противном случае — нестационарным.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Характеристикой среднего значения случайной величины слу­жит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины

равно самой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления событии величин равно сумме математических ожиданий слагаемых!

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, а частности, Дисперсий и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математическпго ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле

Дисперсия обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Дисперсия постоянной разно нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Дисперсия биноминального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X)=npq

Средним квадратическим отклонением случайной величины на­зывают квадратный корень из дисперсии: