Характеристические числа комплексные

Пусть 1=+i, 2= - i , тогда общее решение имеет вид:

X1(t)= e(C111cost + C221sint) , X2(t)= e(C112cost + C222sint) ;

А) Если <0то ясно что Limx1(t)=0 , Limx2(t)=0, т.е. решение будет

t t асимптотически устойчивым.

Б) Если >0, то при t  X1(t) и X2(t) неограниченно растут, т.е. движение будет неустойчивым.

В) Если =0, то ясно что величины C1 и C2 (а следовательно и начальные условия X10, X20) можно выбрать столь малыми, что для любого >0 выполнялись бы условия /X1(t)/<, /X2(t)/<, а это означает что движение устойчиво.

Отметим, что полученные здесь выводы будут справедливы для системы любого порядка. Сформулируем эти выводы в виде теоремы.

Теорема. Если действительные части всех характеристических чисел линейной системы отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво; если действительная часть хотя бы одного из характеристических чисел положительна, то невозмущенное движение неустойчиво; если действительные части некоторых характеристических чисел равны нулю, остальные же отрицательны, то невозмущенное движение – устойчиво /но не асимптотично/.

3 Устойчивость и не устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим теперь автономную нелинейную систему дифференциальных уравнений возмущенного движения: X1=X1(X1,X2,…Xn)

X2=X2(X1,X2,…Xn) (1)

.…….……………..

Xn=Xn(X1,X2,…Xn)

Разлагая правые части Xj(X1,X2,…Xn) в ряды Тейлора в окрестности точки O(0,0,0)и имея в виду,что в этой точке все правые частиXj(X1,X2,…Xn) обращаются в нуль,получим:

X1=A11X1+A12X2+……+A1nXn + X1(X1,X2,….Xn)

X2=A21X1+A22X2+……+A2nXn + X2(X1,X2,….Xn) (2)

…………………………………………………..

Xn=An1X1+An2X2+……+AnnXn + Xn(X1,X2,….Xn)

Где Aij = const (система автономная) а функции Xj содержат возмущения X1,X2,…Xn в степенях выше первой. При исследовании на устойчивость имеет смысл рассматривать лишь малые значения возмущений X1,X2,…Xn. В этом случае функции Xj будут малыми высших порядков по сравнению с линейными членами в уравнениях (2). Но тогда при приближенном исследовании нелинейными членами в уравнениях (2) можно пренебречь. получим систему которую обычно называют укороченной системой или системой уравнений первого приближения по отношению к системе (2):

X1=A11X1+A12X2+……+A1nXn

X2=A21X1+A22X2+……+A2nXn (3)

………………………………..

Xn=An1X1+An2X2+……+AnnXn

Укороченная система (3) является линейной автономной системой, и устойчивость ее нулевого решения можно исследовать на основании теоремы, выведенной в предыдущем параграфе.

Но тогда встает естественный вопрос о том, при каких условиях результаты исследования на устойчивость нулевого решения уравнений первого приближения (3) будут совпадать с результатами такого же исследования для нелинейной системы (2), т.е. при каких условиях, исследуя на устойчивость систему (2), ее можно заменять укороченной системой (3). А. М. Ляпунов дал ответ на этот вопрос нижеследующей теоремой.

Теорема. Если действительные части всех характеристических чисел укороченной системы (3) отрицательны, то нулевое решение системы (2) (невозмущенное решение) асимптотически устойчиво, каковы бы ни были нелинейные члены в правых частях уравнений (2). Если же действительная часть хотя бы одного характеристического числа укороченной системы (3) положительна, то нулевое решение системы (2) (невозмущенной движение) неустойчиво при любых нелинейных членах в правых частях уравнений системы (2).