2 Исследование устойчивости линейных уравнений.

Рассмотрим важный частный случай, когда уравнения линейны, т.е. уравнения возмущенного движения имеют вид: X1=A11X1+A12X2 (1)

X2=A21X1+A22X2

Ограничимся случаем автономной системы когда Aij=const. Исследуем на устойчивость нулевое решение X1(t)=0, X2(t)=0. Частное решение этой системы ищется в форме X1=1e, X2=2e где 1, 2 , – некоторые константы, подлежащие определению. Подставляя 1e и 2e вместо X1 и X2 в систему (2), получим систему алгебраических уравнений: (A11-)1 + A122 = 0

A211 + (A22-)2 = 0

Которая имеет нулевое решение относительно 1 и 2 если ее определитель равен нулю, т.е. A11- A12 = - (A11- A22) + (A11A22 - A12A21)=0

A21 A22-

Как известно, это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни 1и 2– характеристическими числами. Определив 1и 2 , найдем две пары коэффициентов (с точностью до произвольного множителя). Если найдены 1, 2, 1, 2, остается построить фундаментальную систему решений и написать общее решение системы. Характер этого решения зависит от типа характеристических чисел 1 и 2 .

Характеристические числа действительны и различны

Если 1 и 2действительны и различны (12), то общее решение системы имеет видX1(t) = C111e + C221e , X2(t) = C112e + C222e гдеC1 и C2произвольные постоянные:ij - определенные числа. При этом могут реализоваться такие случаи:

А) Характеристические числа отрицательны (1<0 , 2<0).

Тогда ясно, что Lim X1(t)=0 , Lim X2(t)=0 т.е. исследуемое нулевое решение

t t будет асимптотически устойчивым

Б) Хотя бы одно из характеристических чисел положительно.

Если 1>0,то e   т.е. в этом случае, по крайней мере, одна из величин X1(t)

t или X2(t) неограниченно возрастает при t   т.е. исследуемое движение неустойчиво

В) Одно из характеристических чисел отрицательно, другое равно нулю. Пусть например 1<0 , а 2=0. Тогда ясно, что члены, содержащие e, будут стремиться к нулю при t  , а два других члена не зависят от t , а это означает, что любая фазовая траектория L с началом в точке Mo достаточно близкой к точке O(0,0), будет все время оставаться в сколь угодно малой окрестности этой точки, хотя Lim1(t)0 , Lim2(t)0. В этом случае решение будет устойчивым, хотя и не t t асимптотически.

Характеристические числа, кратные(1=2).

В этом случае общее решение имеет вид

X1(t) = (C111+ C221)e , X2(t) = (C112+ C222)e.

Здесь могут представиться такие ситуации:

А) Если 1>0 то e при t  , т.е. движение неустойчиво. Аналогично, если 1=0 то e =1 и движение также неустойчиво;

Б) Если 1>0, то Limx1(t)=0 , Limx2(t)=0

t t т.е. исследуемое нулевое решение будет асимптотически устойчивым.