Элементы теории устойчивости

1 Понятие о теории устойчивости Ляпунова.

Во многих задачах механики и техники важно знать характер поведения решения дифференциальных уравнений при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений и ее важнейшее направление – теория устойчивости движения.

Основоположником теории устойчивости движения является русский математик и механик А. М. Ляпунов /1857-1918/. Дадим определение устойчивости на примере дифференциальных уравнений второго порядка:

Y1=f1(t,Y1,Y2)

Y2=f2(t,Y1,Y2) (1)

где функции f1 и f2 удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения в некоторой области D переменных t, Y1, Y2. Пусть Y1=1(t) и Y2=2(t) - решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям Y1/t=0=1(t),Y/t=0=Y20. Пусть также Y1=1(t) и Y2=2(t) решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y/t=0=Y20.

Определение 1. Решение Y1=1(t), Y2=2(t)системы (1), удовлетворяющее начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20,называется устойчивым по Ляпунову при t, если для каждого сколь угодно малого >0можно указать >0такое, что при всех t>0значениях будут выполняться неравенства /1(t)-1(t)/< ,

/2(t)-2(t)/< , если начальные условия удовлетворяют неравенствам

/Y10-Y10/< , /Y20-Y20/<.

Поясним смысл этого определения. Очевидно, что выполнение неравенств, содержащихся в определении, означает, что при малых изменениях начальных условиях мало отличаются соответствующие им решения при t>0. Движение Y1=1(t) ,Y2=2(t) , соответствующее начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20 , называется невозмущенным движением, а движение Y1=1(t) ,Y2=2(t),соответствующее близким начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20, называется возмущенным движением.

Величины 1=Y10-Y10 , 2=Y20-Y20 называются возмущениями начальных условий, а величины X1(t)=1(t)-1(t) , X2(t)=2(t)-2(t) – возмущениями текущих координат.

Определение 2. Если устойчивое движение удовлетворяет таким условиям:

lim1(t)=1(t) , lim2(t)=2(t) то оно называется асимптотически устойчивым.

t t

Асимптотическая устойчивость означает, что при неограниченном возрастании времени возмущенное движение приближается к невозмущенному.

Исследование устойчивости удобно проводить, если от уравнений (1) в исходных координатах Y1 и Y2 перейти к уравнениям в возмущениях X1 и X2:

X1=1(t)-1(t) , X2=2(t)-2(t). Этот переход осуществляется подстановкой в уравнение (1) соотношений Y1=1(t)=1(t)+X1 , Y2=2(t)=2(t)+X2 :

dY1/dt=d1(t)/dt=d1(t)/dt+dX1/dt=f1(t,1(t)+X1, 2(t)+X2)

dY2/dt=d2(t)/dt=d2(t)/dt+dX2/dt=f2(t,1(t)+X1, 2(t)+X2)

ОбозначаяX1(t,X1,X2)= f1(t,1(t)+X1, 2(t)+X2) - f1(t,1(t), 2(t)),

X2(t,X1,X2)= f2(t,1(t)+X1, 2(t)+X2) – f2(t,1(t), 2(t)),

получим из последней системы так называемую систему в возмущениях:

X1(t)=X1(t,X1,X2) (2)

X2(t)=X2(t,X1,X2)

Очевидно, что невозмущенному решению Y1=1(t) ,Y2=2(t) системы (1) соответствует решение X1(t)=0, X2(t)=0 системы (2) с нулевыми начальными условиями X1/t=0=X10=0 , X2/t=0=X20=0.

Тогда на языке возмущений X1(t) и X2(t) определение устойчивости по Ляпунову будет звучать следующим образом.

Определение 3. Решение X1(t)=0, X2(t)=0 системы в возмущениях называется устойчивым, если для любого наперед заданного >0 найдется такое >0, что неравенства / X1(t)/< , / X2(t)/< будут выполняться, если выполняются неравенства /X10/<, /X20/<.

Если при этом Lim X1(t)=0 , Lim X2(t)=0 , то решение X1(t)=0, X2(t)=0

t t

называется асимптотически устойчивым.

Определение 4. Если для любого наперед заданного >0 можно указать такое >0, что при всех X10 , X20 , удовлетворяющих неравенству X10 +X20, будет выполняться при всех t 0 неравенство X10(t) +X20(t), то невозмущенное движение X1(t), X2(t)=0 называется устойчивым, в противном случае – неустойчивым. Если же при этом для устойчивого движения

Lim(X1(t) +X2(t))=0, то движение называется асимптотически устойчивым.

t