ответы на тесты, билеты / ответы на экзаменационные вопросы, 3 семестр, ратафьева / mat_5_#1

1. Ряд. Частичная сумма ряда. Сходимость ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

Ряд - выражение вида a₁+a₂+a ₃+...+a_n+... a₁, a₂,..., a_n- члены ряда. a_n-общий член ряда.     Ряд считается заданным, если его общий член a_n можно выразить как функцию его порядкового номера. Пример: 1/n , где n - натуральное число. Этот ряд выглядит так: 1 + ½ + 1/3 +...+ 1/n +... Этот ряд называется гармоническим. Если члены ряда есть некие числа, то ряд называется числовым. Если члены ряда являются функциями, то такой ряд называется функциональным.

a₁+a₂+a ₃+...+a_n+a_n+1+a_n+2+...

Если взять первые n членов от a₁ до a_n, то мы получим S_n, называемое частичной суммой. a₁+a₂+a ₃+...+a_n. То, что следует после S_n, тоже является рядом. Этот ряд обозначается R_n и называется остатком ряда после его n-ого члена.

     Определение.    Суммой ряда a₁+a₂+a ₃+...+a_n+... называется предел последовательности его частичных сумм. .

Если сумма существует, то говорят, что ряд сходится. Если сумма равна бесконечности или не существует, то говорят, что ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда.

Теорема Если ряд сходится, то его общий член стремится к 0.  Доказательство. Рассмотрим ряд a₁+a₂+a ₃+...+a_n+... Пусть он сходится. Тогда можно утверждать, что Кроме того, a_n = S_n - S_n-1. , что и требовалось доказать. Замечание. Это условие является необходимым, но не является достаточным. Если, то это не означает, что ряд сходится.      Теорема 2. Ряд и его остаток в смысле сходимости ведут себя одинаково. Рассмотрим ряд a₁+a₂+a₃+...+a_n+a_n+1+...+a_n+n +... и ряд a_n+a_n+1+...+a_n+n+... . Обозначим их частичные суммы через S_n и

_n находим, что S_n+k+p- S_n+k=_n+p-_n . Отсюда видим, чтовыполнение или невыполнение условия Коши для одного ряда влечет аналогичное и для другого ряда.

или u₂+u₃+...+u_n < < u₁+u₂+...+u_n-1 или S_n-u₁<<S_n-u_n

1) if сходится те=A тк <=A то S_n-u₁<A те

S_n<u₁+A последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена  f(x) сходится

) if расходится те=+ и неограниченно возрастают при n тк S_n>

получаем S_n при n  f(x) расходится

1⁰. Определение.

Рассмотрим функциональный ряд U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+…(*),

определённый на множестве Х. Ряд (*) называется равномерно сходящимся, если:

1. Он сходится во всех точках множества Х.

2. Если имеет место соотношение

.

Здесь в определении равномерной сходимости выбор номера N зависит только от фиксации . Тогда начиная с этого номера следующие далее неравенства выполнены для всех точек из множества Х, в то время как в определении обыкновенной сходимости одного номера N, общего для всех х из множества Х, может и не найтись.

2⁰. Геометрический смысл равномерной сходимости.

Итак, если ряд сходится равномерно на некотором множестве Х, то это значит, что начиная с некоторого номера N все S_n(x) целиком лежат внутри полосы шириной в 2ε относительно функции S(x); вводится обозначение r_n(x)=S(x)-S_n(x)= .

Если функциональный ряд сходится равномерно, то начиная с некоторого номера N любой остаток ряда r_n(x) целиком лежит в полосе шириной в 2ε относительно 0.

7. Обобщенный гармонический ряд. Его сходимость.

1/1^r+ 1/2^r +1/3^r+...+1/n^r+... Этот ряд носит название обобщённого гармонического ряда. 1. При r=1 получаем гармонический ряд, рассмотренный ранее, и он расходится. 2.При r1 По интегральному признаку Коши:

Таким образом обощенный гармонический ряд расходится if p>1 и расходится if p1

7. Признак Веерштрасса для равномерно сходящегося функционального ряда.

Теорема : if функциональный ряд U₁(x)+ U₂(x)+ ...+Un(x) (*) на множестве X мажорируется числовым положит. Сх. Рядом (**), то на этом множ-ве ряд (*) сх равномерно.

Доказательство : Ряд A₁+ A₁+..+ A_n (**)- числовой “+” сх-ся ряд, причем | Un(x)| A_n

Устремим p и осуществим предельный переход неравнеств

А это и означает, что в силу определения, что (*) сходится на всем множестве X.

Признак Веерштрасса дает достаточное условие равномерной сходимости. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать и диференцировать и выполнять другие операции.

7. Теорема Лейбница

Если |a_n| числового знакопеременного ряда монотонно убывает и стремится к 0, то этот ряд сходится.

Доказательство

a₁-a₂+a­₃-…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+… (*)

Здесь: а_n ≥ 0 – модуль общего члена.

Так как любые 2 соседние члена ряда имеют разные знаки, то ряд называется знакочередующимся. По условию теоремы:

1. а₁≥а₂≥а₃≥а₄≥… ≥а_n≥… - имеем монотонное убывание

2. =0

Рассмотрим последовательность чётных частичных сумм:

S₂=a₁-a₂≥0

S₄=(a₁-a₂)+( a₃-a₄)≥0

***********************

S_2n=(a₁-a₂)+( a₃-a₄)+…+ ( a_2n-1-a_2n)≥0

Каждая скобка положительна, товыполняется условие S₂≤S₄≤,,, ≤S_2n

Последовательность чётных частных сумм монотонно возрастает.

S_2n= a₁-(a₂ - a₃ ) –(a₄ –а₅)-…- ( a_2n-2-a_2n-1)-a_2n≥0

Это говорит о том, что последовательность частных сумм ограничена сверху -> у нее существует конечный предел равный S.

Рассмотрим последовательность нечётных частичных сумм S_2n-1.

Это говорит о том, что предел последовательности частных сумм существует. Мы можем назвать его суммой ряда. То есть S – сумма ряда (по определению). ЧТД.

Заметим, что в формулировке теоремы существенно требование монотонного убывания общего члена ряда.

Следствие 1.

Рассмотрим последовательность чётных частных сумм.

1. Очевидно, что сумма ряда не превосходит первого члена ряда.

2. Сумма ряда по знаку совпадает с первым членом ряда.

Следствие 2.

Пусть нам надо посчитать приближённое значение суммы знакочередующегося числового ряда.

Эта ошибка есть числовой знакочередующийся ряд. В силу теоремы Лейбница можно оценить, что ошибка не превосходит первого отброшенного члена по модулю, а по знаку совпадает с ним.

7. Гармонический ряд. Докозательство расходимости.

Докажем, что гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 +...+ 1/n +... расходится. Рассмотрим частичную сумму S₂n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +...+ 1/2^n-1+1 + 1/2^n-1+2 + 1/2ⁿ Расставив скобки в этом выражении следующим образом: 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +)...+ (1/2^n-1+1 + 1/2^n-1+2 +...+ 1/2ⁿ ), мы увидим, что каждая из этих скобок больше ½ , а сам ряд больше 1+n/2. Сумма (1+n/2) стремится к бесконечности при n, стремящемся к бесконечности. Так как S₂n стремится к бесконечности, значит, ряд расходится, так как частичная сумма ряда стремится к бесконечности.

Пусть есть некоторый функциональный ряд: U₁+U₂+…+U_n+… (*)

Если все U_n определены на некотором множестве Х таком, что:

1. 1. Все U_k непрерывны на данном множестве;

2. 2. Ряд (*) сходится равномерно на данном множестве;

то - непрерывная функция.

Доказательство:

Пусть некая функция S(x) непрерывна в точке х₀ .

Оценим каждое из слагаемых в правой части. Мы предполагаем, что ряд сходится равномерно. Тогда

1)

2)

3)) то

7. Геометрический ряд. Условие его сходимости.

     a, aq, aq₂, ..., aq_n-1, aq_n,... - геометрическая прогрессия.      a + aq + aq₂+ ... + aq_n-1 + aq_n +...- геометрический ряд. Исследуем его сходимость     S_n=a + aq + aq²+ ... + aq^n-1      S_n*q= aq + aq²+ ... + aqⁿ     Вычтя из верхней строчки нижнюю, получим:     S_n*(1-q)= a - aqⁿ     S_n= a/(1-q) - aqⁿ/(1-q)     

     S=a/1-q, если |q|<1, и S равна бесконечности, т.е. ряд расходится, если |q|>1.      Вывод. Геометрический ряд сходится при |q|<1.

7. Признаки сходимости для числовых положительных рядов

1⁰Первый признак сравнения Рассмотрим два числовых положительных ряда. a₁+a₂+a ₃+...+a_n+...(*) b₁+b₂+b ₃+...+b_n+...(**) Если a_n<b_n для любого натурального n, то ряд (**) называется мажорантным по отношению к ряду (*), а ряд (*) - минорантным по отношению к ряду (**).

     Теорема.

Если мажорантный ряд сходится, то сходится и минорантный.

Если минорантный ряд расходится, то расходится и мажорантный.

    Доказательство.    1.Докажем первую часть утверждения. Пусть мажорантный ряд сходится. Обозначим за B_n=b₁+b₂+b₃+...+b_n. B= Пусть A_n=a₁+a₂+a₃+...+a_n.

A_n=<B_n<B. Так как рассматриваются положительные ряды, то очевидно, что А_n монотонно возрастает, и ограничена сверху, а следовательно, имеет конечный предел. Отсюда заключаем, что минорантный ряд Аn сходится, что и требовалось доказать.

2. Докажем вторую часть утверждения.

Пусть минорантный ряд расходится. Т.к. его члены неотрицательны, то .Тогда с учетом того, что это минорантный ряд по сравнению с B_n, получаем  ряд расходится.

2⁰ Второй признак сравнения.

Теорема. Если имеет место равенство , то ряды a1+a2+a 3+...+an+...(*) и b1+b2+b 3+...+bn+...(**) в смысле сходимости ведут себя одинаково.

Без доказательства.

7. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда.

Теорема: Если функциональный ряд сходится равномерно на [a;b], то его можно почленно интегрировать,те имеет место равенство: полученый при этом ряд сходиться равномерно по [a,b]

Док-во: заметим, что f(x), как сумма равномерно сходящегося на [a,b] ряда нерерывных функций есть в свою очередь непрерывная на [a;b] функция, причем при >0 спаведлива оценка |R_n(x)|=| |< приn[a,b] 

Для x₀, x[a,b]

Теорема доказана

7. Признак Даламбера

 Теорема. Есть числовой положительный ряд a₁+ a₂+... +a_n+... Если этот ряд таков, что существует предел отношения a_n+1 / a_n, равный l, то при l<1 данный ряд сходится, при l>1 ряд расходится. При l=1 признак Даламбера не работает.

Доказательство.      1. Пусть l<1. В силу определения предела последовательности для любого сколь угодно малого положительного  найдётся такой номер N, что для всех последующих номеров n>N будет выполняться такое неравенство: . Выберем такое : l+ =q. В силу определения предела существует номер n₀ такой, что для всех номеров n>n₀ будет выполнено неравенство a_n+1 / a_n+1<q. a_n0+1 <a_n0q, a_n0+2<a_n0q² и так далее. То есть ряд a_n0 + a_n0+1 +...+ a_n0+k + ... (1) мажорируется таким рядом: a_n0 + a_n0q + a_n0q² +...+ a_n0q^k + ... , а так как этот ряд сходится, то сходится и ряд (1). Также ряд (1) является остатком исходного ряда после члена a_n0-1, а ряд и его остаток в смысле сходимости ведут себя одинаково, поэтому ряд a₁+ a₂+... +a_n+... сходится при заданных условиях, что и требовалось доказать.      2. Пусть l>1. Так как  - сколь угодно малое положительное число, то можно выбрать l- =q>1. Тогда, начиная с некоторого номера n₀: a_n+1 / a_n>q <=> a_n+1 >q*a_n; так как ряд положительный, то это соотношение означает, что начиная с некоторого номера n₀ все а_n возрастют, а если переменная положительная величина возрастает, то её предел не равен 0, что, в свою очередь, означает, что исходный ряд расходится. ч.т.д.

5. Равномерная сходимость функционального ряда и ее геометрический смысл.

Рассмотрим ряд:

Определение.

Суммой функционального ряда U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+… S(x) называется такая функция, что если можно указать такой номер N(x₀, ), что для всех n>N выполняется условие:

в некоторой точке х=х₀.

Заметим, что S(x)-S_n(x)=остаток ряда U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+….

Поэтому

Замечание.

В данном определении обыкновенной сходимости функционального ряда выбор номера зависит не только от произвольно взятого ε, но и от закрепления х₀. При обычной сходимости одного номера N, общего для всех х из множества Х, может и не оказаться. Поэтому наряду с понятием обыкновенной сходимости функционального ряда вводят в рассмотрение понятие равномерной сходимости функционального ряда. Так же, как и числовой ряд, функциональный ряд называется сходящимся, если сумма ряда S(x) есть некоторая функция, определённая на множестве X.

Определение.

Множество Х, в каждой точке которого функциональный ряд сходится, называется областью сходимости данного функционального ряда.

Равномерная сходимость.

7. Интегральный признак Коши.

     Дан числовой положительный ряд вида a₁+ a₂+... +a_n+...Пусть функция f(x) обладает свойством f(n)=a_n. Такая функция называется производящей..      Теорема. Дан числовой положительный ряд вида a₁+ a₂+... +a_n+... Пусть f(x) - положительная убывающая производящая функция. Тогда и исходный ряд в смысле сходимости ведут себя одинаково.     Доказательство: Рассмотрим криволинейную трапецию, огранниченную сверху графиком y=f(x) и ее основанием служит отрезок оси ox от x=1 до x=n

Построим входящие и выходящие прямоугольники.

Учитывая геометрический смысл интеграла, запишем: