ответы на тесты, билеты / ответы на экзаменационные вопросы, 3 семестр, ратафьева / mat_5_#2

18, Ортономирванная система функций. Обобщенный ряд Фурье.

1⁰. Норма функции.

Рассмотрим функцию y=φ(x), непрерывную на промежутке [a;b].

Определение 1.

Если то функция y=φ(x) называется нормированной на интервале [a;b]

Если этот интеграл не равен нулю, то вводят понятие нормы функции.

Определение 2.

Если y=φ(x) непрерывна на интервале [a;b], то - норма функции.

Любую функцию можно пронормировать, разделив её на свою норму.

2⁰. Ортогональные функции.

Функции φ(х) и ψ(х) называются ортогональными на промежутке [a;b], если

3⁰. Ортонормированные системы функций. Понятие обобщённого ряда Фурье.

Рассмотрим систему функций:

Эта система функций называется ортонормированной, если каждая из функций нормирована и все они попарно ортогональны.

16. Теорема о достаточном условии разложения функции в ряд Тейлора.

Достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора.

Если у функции y=f(x) есть в каждой точке интервала [a;b] производная любого порядка f⁽ⁿ⁾(x) и при этом они ограничены, то эта функция представима в виде ряда Тейлора так:

Доказательство.

По условию, исходная функция дифференцируема бесконечное число раз. Поэтому для неё можно написать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

- остаточный член в форме Лагранжа.

Если мы докажем, что существует предел

,

то докажем и теорему.

То есть все производные ограничены. Следовательно, можно сконструировать числовой положительный сходящийся ряд, который мажорируется таким степенным рядом:

Этот ряд сходится по обобщённому признаку Даламбера. Следовательно, сходится и исходный ряд. То есть существует предел , равный нулю. Теорема доказана.

Заметим, что в формулировке теоремы можно было бы потребовать ограниченность всех производных, оставив лишь условие дифференцируемости функции сколько угодно раз. Действительно, нам известно, что функция дифференцируема сколько угодно раз, следовательно, непрерывна, поэтому ограничена по теореме Вейерштрасса.

Также заметим, что не все дифференцируемые функции ограничены. Пример – экспонента.

13. Стпенной ряд. Теорема Абеля.

Функциональный ряд вида

называется степенным рядом, или рядом по степеням х.

Ряд также называется степенным.

1 ^o. Лемма Абеля. Если ряд

сходится в некоторой точке х₀, то он абсолютно сходится на множестве Х,.

Так как исходный ряд сходится в некоторой точке, то выполняется необходимое условие сходимости, то есть

.

Любая функция, имеющая конечный предел, ограничена, то есть существует некая точка М такая, что

, причём |х|<|x₀|.

Рассмотрим исходный ряд и запишем его в таком виде:

Рассмотрим степенной ряд Может оказаться, что:

16. Он сходится в единственной точке х₀. Тогда говорят, что его радиус сходимости R=0.

17. Он сходится в точке R<+∞, а в точках x≥R ряд расходится. Тогда, в соответствии с леммой Абеля, говорят, что существует интервал сходимости ]-R;+R[.

18. Он сходится на всей числовой оси. Тогда говорят, что R=+∞, ]-R;+R[ -интервал сходимости.

Заметим, что поведение ряда в точках х=±R надо исследовать отдельно. Поэтому область сходимости может состоять не только из интервала сходимости, но и его граничных точек.

19, Ортонормированная тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье.

1, sinx, cosx, … , sinnx, cosnx (*)

1. Доказываем ортогональность.

Рассмотрим следующее:

Вывод – ортогональность есть.

Вывод – ортогональность есть.

2. Норма.

- норма единицы на [-π; π]

Выполнив операцию нормирования для исходной системы функций (*), получим следующее:

При выполнении этого функцию можно представить в виде обобщённого ряда Фурье по системе функций 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x,…

- тригонометрический ряд Фурье с коэффициентами.

а_о, a_k, b_k называются коэффициентами ряда.

При выполнении некторых условий в последнем выражении правомерно поставить = вместо ~.

13. Теорема о единственности представления функции степенным рядом.

Если функцию можно представить степенным ряом, то это возможно лишь одним способом.

Доказательство.

Пусть функция представима степенным рядом.

Аналогично, если функцию можно представить рядом по степеням (х-а), то это можно

сделать только при помощи ряда Тейлора:

Заметим, что эта теорема не гарантирует, что любую функцию можно представить степенным рядом.

Это есть стандартное разложение. В правой части равенства находится степенной ряд. Его интервал сходимости (-∞; +∞).

Согласно свойствам степенных рядов, можно произвести почленное дифференцирование:

17, Разложение в степенные ряды функций e^x, sinx, cosx, arctgx, ln(x+1),ln(x-1) с доказательством.

A)(1)

1.f’(x)=e^x, f’’(x)=e^x... f’⁽ⁿ⁾(x)=e^x

2. f’(0)=1, f’’(0)=1... f’⁽ⁿ⁾(0)=1

3.e^x1+x/1!+x²/2!+ xⁿ/n!+... R=,те ряд расходится в инт (-;)

4. Для x(-R;R), имеем |f⁽ⁿ⁾(x)|=e^x <e^R=M, те  приозводные в этом интервале ограничены одним и тем же числом M=e^R  (1)

B)sinx=(2)

cosx=

1. f’(x)=cos(x)=sin(x+/2) f’’(x)=-sin(x)=sin(x+2*/2), f’’’(x)=-cos(x)=sin(x+3*/2)... f⁽ⁿ⁾(x)=-=sin(x+n*/2)

2. f⁽ⁿ⁾(0)=sinn/2=

3. sinx=Этот числовой ряд сх-ся при x

4. Любая производная sinx 1 имеет место разложение (2)

Что бы получить разложение для cosx нужно продиф.синус

С) chx= shx=

Заменив e^x на e^-x получим

И учитывая (см выше) получим формулы

D)Разложениеможно получить расматривая этот ряд, как ряд геометрической прогресии (первый член=1, а знаменатель =x)

E)

Формулу можно вывести из предидущей формулы, проинтегрировав ее

F) (1+x)^

1.f’(x)=(1+x) ^-1 ,f’’(x)=(1-)(1+x) ^-2 ... f⁽ⁿ⁾(x)=(1-)...(-(n-1))(1+x) ^--n

2.f(0)=1, f’(0)=  , f’’(0)= (-1)... f⁽ⁿ⁾(0)= (-1)...( -n+1 )

3. (1+x)^

4.R=

те составленный для функции (1+x)^ сходится в интервале (-1;1)

E) arctgx=

Положив в F =-1 и заменив x на x² получим равенство :

проинтегрируем равенство( )

G)arcsin x=

Положив в F =-1/2и заменив x на(-x)² получим равенство и продиференцируем его.

20, Теорема Дерихле.

Теорема.

Если функция y=f(x) определена на [-π; π] и на этом промежутке удовлетворяет следующим условиям:

1. Она кусочно- непрерывна.

2. Кусочно-монотонная.

3. Ограничена,

то тригонометрический ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится на всей числовой оси, представляет собой 2 π-периодическую функцию и на интервале [-π; π] имеет такую сумму:

15. Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Теорема.

сходится равномерно на любом конечном интервале [a;b], содержащемся внутри интервала сходимости.

Доказательство.

Пусть сходится на ]-R;+R[. Возьмём малое положительное r такое, что интервал [-R+r;R-r] лежит внутри интервала сходимости. В точке (R-r) степенной ряд сходится, и мы имеем числовой сходящийся положительный ряд вида:

Возьмём некоторую точку х такую, что:

Выполнены условия признака Веерштрасса:

То есть ряд сходится равномерно. ЧТД.

Свойства:

1 Если все члены ряда с_nx_n непрерывны, то для степенного ряда справедлива теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда. Вывод – степенной ряд имеет непрерывную сумму.

2. Выполнены условия теоремы о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Поэтому степенной ряд можно почленно интегрировать на любом конечном промежутке, содержащемся в интервале сходимости.

3. Аналогично, степенной ряд можно почленно дифференцировать на любом конечном промежутке, содержащемся в интервале сходимости

21. Разложение в тригонометрический ряд на промежудке [-;]

Пусть в точках непрерывности функции f(x) имеется такое разложение.

Если ряд Фурье сходится равномерно на любом конечном промежутке, то его можно почленно проинтегрировать на этом промежутке.

Проинтегрируем его на [-π; π].(Тригонометрическая система функций ортогональна на [-π; π])

(1)

COS mx