Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
a1.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
1.01 Mб
Скачать

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

(3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система лінійних рівнянь

(4)

----------------------------

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a і b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але c=b-a , звідси b=a+c, де с є M. Тобто, b є a+M, і включення доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0. Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень випливає, що L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді b=a+λ1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де λ1, λ2,…, λn є R.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]