
- •Поняття рангу матриці
- •Існування базисного мінора.
- •Теорема про базисний мінор та її наслідки.
- •Теорема про ранг матриці
- •Теорія систем лінійних рівнянь
- •Розв’язки системи лінійних рівнянь
- •Поняття підпростору.
- •Однорідні системи лінійних рівнянь.
- •Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків.
- •Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.
Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.
Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь
(3)
----------------------------
Цій системі відповідає однорідна система лінійних рівнянь
(4)
----------------------------
Припустимо, що система (3) сумісна.
Теорема (про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}
Доведення. Покажемо
спочатку, що
.
Нехай a=(γ1,γ2,…,γn)
і припустимо, що b=(λ1,λ2,…,λn)
- довільний розв’язок системи (3), тобто
b
є L.
Доведемо, що вектор c=b-a
є розв’язком однорідної системи (4).
Для цього підставимо координати вектора c==(λ1- γ1,λ2- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a і b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn=βi, αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn=βi, . Звідси
αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.
Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але c=b-a , звідси b=a+c, де с є M. Тобто, b є a+M, і включення доведено.
Покажемо, що
.
Нехай x=(μ1,μ2,…,
μn)
є M.,
тобто вектор x
є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо,
що a+x
є L..
Для цього координати вектора a+x=(
γ1+μ1,
γ2+μ2,…,
γn+μn)
підставимо в i
- е рівняння системи (3). При цьому
враховуємо, що αi1γ1+
αi2γ2+…+
αinγn=βi,
αi1μ1+
αi2μ2+…+
αinμn=0.
Звідси
αi1(γ1+μ1)+ αi2(γ2+μ2)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.
Отже, координати
вектора a+x
задовольняють рівняння системи (3), тому
a+x
є L.
Таким чином,
.
З двох включень випливає, що L=a+M. Теорему доведено.
Наслідок. Якщо a - деякий частковий розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді b=a+λ1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де λ1, λ2,…, λn є R.