Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

(3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система лінійних рівнянь

(4)

----------------------------

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ₁,γ₂,…,γ_n) і припустимо, що b=(λ₁,λ₂,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора c==(λ₁- γ₁,λ₂- γ₂,…,λn- γ_n) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a і b є розв’язками системи рівнянь (3), то α_i1γ₁+ α_i2γ₂+…+ α_inγ_n=β_i, α_i1λ₁+ α_i2λ₂+…+ α_inλ_n=β_i, . Звідси

α_i1(γ₁- λ₁)+ α_i2(γ₂- λ₂)+…+ α_in(γ_n- λ_n)=( α_i1γ₁+ α_i2γ₂+…+ α_inγ_n)-( α_i1λ₁+ α_i2λ₂+…+ α_inλ_n)= β_i- β_i=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але c=b-a , звідси b=a+c, де с є M. Тобто, b є a+M, і включення доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ₁,μ₂,…, μ_n) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ₁+μ₁, γ₂+μ₂,…, γ_n+μ_n) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що α_i1γ₁+ α_i2γ₂+…+ α_inγ_n=β_i, α_i1μ₁+ α_i2μ₂+…+ α_inμ_n=0. Звідси

α_i1(γ₁+μ₁)+ α_i2(γ₂+μ₂)+…+ α_in(γ_n+ μ_n)= (α_i1γ₁+ α_i2γ₂+…+ α_inγ_n)+( α_i1γ₁+ α_i2γ₂+…+ α_inγ_n)= β_i+0= β_i.

Отже, координати вектора a+x задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень випливає, що L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a₁,a₂,…,a_n-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді b=a+λ₁a₁+ λ₂a₂+…+ λ_n-ra_n-r, де λ₁, λ₂,…, λ_n є R.