ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Означення. Визначником другого порядку

називається число =x₁y₂–y₁x₂

Означення. Визначником третього порядку називається число =x₁y₂z₃+y₁z₂x₃+z₁x₂y₃–z₁y₂x₃–y₁x₂z₃– x₁z₂y₃

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ визначника утворюють елементи а₁₁, а₂₂, а₃₃. Побічну діагональ цього визначника складають елементи а₁₃, а₂₂, а₃₁.

Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників. Визначник є сумою 6-и добутків, з яких три беруться зі знаком „+” і три – зі знаком „–”. Зі знаком „+” береться добуток елементів головної діагоналі і добуток елементів, які знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними головній діагоналі

*	*	*
*	*	*	зі знаком „+”.
*	*	*

Зі знаком „–” береться добуток елементів побічної діагоналі і добутки елементів, що знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними побічній діагоналі

*	*	*
*	*	*	зі знаком „–”
*	*	*

ПРИКЛАД:

1	5	-3
6	-8	2	=1∙(-8)∙1+5∙2∙9+6∙3∙(-3)–(-3)∙(-8)∙9- 6∙5∙1–3∙2∙1=
9	3	1	= -8+90–54–216–30–6=-224

Нехай дана система лінійних рівнянь другого порядку

α₁₁x+ α₁₂y=β₁

α₂₁x+ α₂₂y=β₂

Головним визначником системи називається визначник

	α11	α12
Δ=
	α21	α22	.

Якщо Δ≠0, для розв’язання системи існують формули Крамера. Домножимо перше рівняння системи на α₂₂, а друге рівняння - на α₁₂ і віднімемо з першого рівняння друге. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком рівнянь системи, в цьому рівнянні залишається одна змінна х

(α₁₁α₂₂–α₁₂α₂₁)x=β₁α₂₂–β₂α₁₂

Згадуючи означення визначника другого порядку, це рівняння можна записати так:

	α11	α12		β1	α12
			x =
	α21	α22		β2	α22

Повернемось до початкової системи: домножимо перше рівняння на α₁₂, друге – на α₁₁ і віднімемо від другого рівняння перше. Одержимо рівняння, в якому лише одна змінна у.

(α₁₁α₂₂–α₁₂α₂₁)y= α₁₁β₂– α₂₁β₁

Або

	α11	α12		α11	β1
			y =
	α21	α22		α21	β2

Оскільки

	α11	α12
Δ=			≠0,	то з одержаних рівнянь знаходимо єдиний розв’язок
	α21	α22		початкової системи:

		β1		α12			α11	β1
x=		β2		α22	y =		α21	β2
	Δ						Δ

Позначаючи

	β1	α12		α11	β1
Δx=			Δy =			, остаточно отримаємо
	β2	α22		α21	β2

x= Δ_x/Δ, y= Δ_y/Δ.

Ці формули є формулами Крамера для системи лінійних рівнянь другого порядку.

Перейдемо до систем лінійних рівнянь третього порядку:

α₁₁x+α₁₂y+α₁₃z=β₁

α₂₁x+α₂₂y+α₂₃z=β₂

α₃₁x+α₂₃y+α₃₃z=β₃

Аналогічно системам другого порядку, головним визначником системи називається визначник

	α11	α23	α13
Δ=	α21	α22	α23
	α31	α32	α33

Покажемо, що при Δ≠0 для розв’язування системи третього порядку також існують формули Крамера.

Домножимо перше рівняння системи на число (α₂₂α₃₃ – α₂₃α₃₂), друге рівняння домножимо на (α₁₃α₃₂ – α₁₂α₃₃), третє рівняння – на (α₁₂α₂₃ – α₁₃α₃₃) і всі рівняння додамо. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком системи і містить лише одну змінну х.

α₁₂α₂₂α₃₃–α₁₁α₂₃α₃₂+α₂₁α₁₃α₃₂–α₂₁α₁₂α₃₃+α₃₁α₁₂α₂₃–α₃₁α₁₃α₂₂)х=

β₁α₂₂α₃₃–β₁α₂₃α₃₂+β₂α₁₃α₃₂–β₂α₁₂α₃₃+β₃α₁₂α₂₃–β₃α₁₃α₂₂

Згадуючи означення визначника третього порядку, перепишемо рівняння у вигляді

	α11	α12	α13		β1	α12	α13
	α21	α22	α23	x=	β2	α22	α23
	α31	α32	α33		β3	α32	α33

Покладемо

	β1	α23	α13
Δx=	β2	α22	α23	і при Δ≠0 одержуємо x= Δx/Δ.
	β3	α32	α33

Проводячи аналогічні міркування для змінних y і z одержимо y= Δ_y/Δ z=Δ_z/Δ, де

	α11	β1	α13		α11	α12	β1
Δy=	α21	β2	α23	Δz=	α21	α22	β2
	α31	β3	α33		α31	α32	β3

Таким чином, якщо головний визначник Δ системи лінійних рівнянь третього порядку не дорівнює 0, система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

x= Δ_x/Δ y= Δ_y/Δ z=Δ_z/Δ

Нехай дана система лінійних рівнянь n-го порядку

α₁₁x₁+α₁₂x₂+…+α₁₃x_n=β₁

α₂₁x₁+α₂₂x₂+…+α₂₃x_n=β₂

………………………

α₃₁x₁+α₂₃x₂+…+α₃₃x_n=β_n

Для розв’язування подібних систем також існують формули Кроамера. Для того, щоб записати ці формули, потрібно ввести поняття визначника n-го порядку.

Поняття перестановки.

Нехай дана деяка скінчена система різних елементів Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядковане розміщення цих елементів. Іншими словами, перестановкою є будь-яка послідовність, яка складається з цих елементів. В перестановці елементи не повторюються.

Наприклад, перестановками системи чисел 1, 2, 3, 4 є 1 4 2 3 1 3 4 2 …

Далі будемо розглядати переважно перестановки натуральних чисел.

Поняття інверсії

Будемо казати, що два числа в перестановці натуральних чисел утворюють інверсію, якщо > та в перестановці стоїть раніше від . Наприклад, в перестановці 4, 2, 1, 3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1)

Постановка називається парною, якщо її елементи утворюють разом парне число інверсій, і непарною, якщо вони утворюють непарне число інверсій.

Наприклад, в перестановці 4, 2, 1, 3 елементи утворюють 4 інверсії, тобто перестановка парна. В перестановці 2, 1, 3, 4 інверсію утворює лише пара чисел (2,1), тому перестановка непарна. В перестановці 1, 2, 3, 4 немає жодної інверсії. Число інверсій дорівнює 0, тому перестановка парна.

Деякі теореми про перестановки.

Теорема 1. Число усіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!

Доведення. Доведемо теорему індукцією по числу n елементів. Нехай n= 1. В системі лише один елемент a₁, який утворює лише одну перестановку , 1=1!

Припустимо, що теорема виконується для всіх систем, які складаються з не більш, ніж n- 1 елементів, і нехай в системі n елементів a₁,a₂,…,a_n-1,a_n. За припущенням індукції в системі з n-1 елементів можна скласти (n-1)! Перестановок. Всі перестановки елементів a₁,a₂,…,a_n-1,a_n можна скласти таким чином. Будемо послідовно брати усі перестановки елементів a₁,a₂,…,a_n-1 і дописувати до них елемент a_n на всі можливі місця. Спочатку ставимо його перед першим елементом у фіксованій перестановці елементів a₁,a₂,…,a_n-1, потім перед другим і т.д., і нарешті за останнім. Число місць, на які можна поставити елемент a_n, дорівнює n. Таким чином, користуючись однією перестановкою чисел a₁,a₂,…,a_{n-1 ,}ми одержуємо n різних перестановок елементів a₁,a₂,…,a_n-1,a_n .Перестановки не повторюються, тому їх число дорівнює (n-1)!n=n!

Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.

Теорема 2. Транспозиція змінює парність перестановки.

Доведення. Припустимо, в перестановці натуральних чисел міняються місцями елементи i та j, причому для визначення будемо вважати що <j.

Спочатку розглянемо випадок, коли в початковій перестановці числа і стоять поруч від перестановки

α₁, α₁,.., α_k,i,j,β₁, β₂,.., β_k

ми переходимо до перестановки

α₁, α₁,.., α_k,j,i,β₁, β₂,.., β_k

Нехай в початковій перестановці елементи утворюють t інверсій. В результаті транспозиції взаємне розміщення α₁, α₁,.., α_k,i,β₁, β₂,.., β_s не змінюється. Також не змінюється і взаємне розміщення елементів α₁, α₁,.., α_k,j,β₁, β₂,.., β_s Таким чином число інверсій в перестановці може змінитися лише за рахунок чисел i та j. Оскільки ми припустили, що i < j, то в початковій перестановці вони інверсію не утворювали, а в заключній утворюють. Тобто, в заключній перестановці t+1 інверсій. Числа t і t+1 різної парності, а тому парність перестановки змінюється.

Нехай тепер в початковій перестановці між елементами і стоять елементів від перестановки

α₁, α₁,.., α_k,i,γ₁, ,γ_2,…, ,γ_m,,j,β₁, β₂,.., β_s

ми переходимо до перестановки

α₁, α₁,.., α_k,j,γ₁, ,γ_2,…, ,γ_m,i,β₁, β₂,.., β_s

Цей перехід можна зробити за допомогою сусідніх транспозицій елементів. Спочатку за допомогою сусідніх транспозицій переходимо до перестановки α₁, α₁,.., α_k,i,j,γ₁, γ_2,…, ,γ_m,β₁, β₂,.., β_s

.

Далі зробимо ще одну сусідню транспозицію і перейдемо до перестановки

α₁, α₁,.., α_k,j,i,γ₁, γ_2,…, ,γ_m,β₁, β₂,.., β_s

Нарешті, за допомогою m сусідніх транспозицій в зворотньому порядку приходимо до заключної перестановки α₁, α₁,.., α_k,j,γ₁, ,γ_2,…, ,γ_m,i,β₁, β₂,.., β_s.

Всього зроблено 2 +1 сусідніх транспозицій. За доведеним вище, кожна сусідня транспозиція змінює парність перестановки. Таким чином, парність перестановки змінилась 2 +1 разів. Це означає, що початкові і заключна перестановки різної парності.

Наслідок. При n≥2 число парних перестановок з n елементів дорівнює числу непарних і дорівнює .

Доведення. Припустимо, що n елементів утворюють p парних і q непарних перестановок. Оскільки n≥2, в кожній перестановці є елементи a₁ і a₂. В кожній парній перестановці міняємо місцями ці елементи. За теоремою 2 всі парні перестановки стають непарними, тобто одержуємо р непарних перестановок, а тому p≤q.. Аналогічно міняємо місцями елементи і в кожній непарній перестановці одержуємо q парних перестановок. Тобто, q≤p.. З двох нерівностей p≤q, q≤p , одержуємо, що p=q. Але за теоремою 1, число всіх перестановок дорівнює n! Тому p+q=n! і p=q, звідки p=q=n!/2.

Поняття матриці.

Квадратною матрицею порядку n називається квадратна таблиця чисел, яка має n рядків і n стовпчиків.

.

Числа α_ij називаються елементами матриці. Положення кожного елемента в матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення часто позначається індексами. Наприклад, елемент знаходиться в -му рядку і стовпчику матриці А.

Визначники другого і третього порядків формально записуються у вигляді квадратних таблиць чисел.

, .

Числа в цих таблицях називаються елементами визначника. Кожному такому визначнику відповідає квадратна матриця відповідно порядків 2 і 3.

При цьому можна сказати, що визначник Δ₂ є визначником матриці A₂ , а визначник Δ₃ - визначником матриці A₃.

Положення кожного елемента визначника, як елемента матриці, визначається номерами рядка і стовпчика, як часто позначаються парою індексів.

Поняття визначника n- го порядку.

Спочатку з’ясуємо деякі закономірності в будові визначників другого і третього порядків. Беремо визначник 2 порядку.

Визначник є алгебраїчною сумою 2=2! Добутків пар елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. При цьому присутні всі можливі добутки, побудовані за таким правилом. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком „-”. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1 і 2. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2. В цій перестановці 0 інверсій, тобто вона парна. Знак перед добутком „+”. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2,1. В перестановці 1 інверсія, вона не парна, знак перед добутком „-”.

Перевіримо виконання цих закономірностей для визначника третього порядку.

.

Визначник є алгебраїчною сумою 6=3! добутків трійок елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком „-”. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1, 2, 3. Візьмемо, наприклад, добуток a₁₃ a₂₁a₃₂.. При упорядкуванні співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2. В цій перестановці дві інверсії, перестановка парна, знак перед добутком „+”. Візьмемо добуток a₁₁a₂₃a₃₂. Після упорядкування за співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 3, 2. В перестановці 1 інверсія, вона непарна, знак при добутку „-”.

Таким чином закономірності, які визначаються для визначників другого порядку, вірні і для визначників третього порядку.

Нехай задана деяка квадратна матриця порядку n.

Означення. Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика в добуток береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то знак „-”.

Визначник матриці А позначається так:

Визначник також називається детермінантом. Для визначника матриці А також існують позначення:

Зрозуміло, що визначник n- го порядку є сумою n! добутків. Дійсно, кожен добуток можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати вигляді

Де перестановка других індексів α₁, α₂,…, α_n є деякою перестановкою чисел 1, 2, ..., n. За теоремою 1 про перестановки число всіх можливих таких перестановок n!, число всіх добутків дорівнює числу перестановок, тобто n!

Приклад.

Серед добутків, що складають визначник Δ, є добуток чисел -5, 5, -3, 6, які стоять відповідно у 1-му рядку і 3-му стовпчику, у 2 рядку і 1-му стовпчику, у 3-му рядку і другому стовпчику, у 4-му рядку і 4-му стовпчику. Перший індекс елемента визначає номер рядка, а другий – номер стовпчика. Таким чином, в даному добутку після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2, 4. В цій перестановці 2 інверсії, перестановка парна. Тому добуток (-5) 5 (-3)6 у визначнику береться зі знаком „+”.

Аналітичний запис визначника.

Розглянемо визначник n- го порядку

Кожен добуток, з яких складається визначник, можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати у вигляді a_1α1 a_2α2… a_nαn, де α₁, α₂,.., α_n- перестановка чисел 1, 2,...,n. Позначимо через s(α₁, α₂,.., α_n) число інверсій в перестановці α₁, α₂,.., α_n . Тоді знак, з яким добуток a_1α1 a_2α2… a_nαn входить у визначник Δ визначається парністю перестановки α₁, α₂,.., α_n, тобто його можна подати, як . Звідси

Сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2, ..., n.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ і Δ₁ визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток a_1α1 a_2α2… a_nαn , упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику при цьому добутку знак . Будемо упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α₁, α₂,.., α_n цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,..., перейшла в перестановку β₁, β₂,…, β_n за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ₁ при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α₁, α₂,.., α_n) і S(β₁, β₂,…, β_n) однакові парності. Від перестановки α₁, α₂,.., α_n можна перейти за допомогою транспозицій до перестановки 1, 2,..., , від перестановки 1, 2,..., можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки за допомогою транспозицій. Це означає, що від перестановки до перестановки через перестановку 1, 2,..., можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки = . Знаки при довільному добутку у визначниках і співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n..

Лема про знак.

Нехай

,

i₁,i₂,…,i_n і j₁,_`j₂,…j_n - дві перестановки 1, 2,...,n. Тоді добуток входить до визначника Δ зі знаком

Доведення. Зрозуміло, що даний добуток входить до визначника .

Запишемо табличку індексів

В першому рядку таблички s(i₁,i₂,…,i_n) інверсії, в другому s(j₁,_`j₂,…j_n) інверсій.

Сумарне число інверсій дорівнює s(i₁,i₂,…,i_n)+ s(j₁,_`j₂,…j_n). Будемо упорядковувати перший рядок таблички, переставляючи її стовпчики. Цьому процесу відповідає упорядкування елементів у добутку за першим індексом. Кожна перестановка стовпчиків означає транспозицію в першому рядку таблички і транспозицію в другому рядку. Кожна транспозиція змінює парність перестановки. Таким чином, перестановка стовпчиків не змінює сумарну парність перестановок в рядках таблички. В результаті таких дій одержуємо табличку

Числа s(i₁,i₂,…,i_n)+ s(j₁,_{`</sub>j<sub>2</sub>,…j<sub>n</sub>) і s(1,2,…,n)+ s(k<sub>1</sub>,<sub>`}k₂,…k_n) однакові парності. Але s(1,2,…,n) =0, тому однакову парність мають числа s(i₁,i₂,…,i_n)+ s(j₁,_{`</sub>j<sub>2</sub>,…j<sub>n</sub>) і s(k<sub>1</sub>,<sub>`}k₂,…k_n). За означенням визначника даний добуток входить до визначника зі знаком тобто зі знаком .

Визначник трикутного вигляду.

За означенням обчислюються лише визначники малих порядків або визначники спеціального вигляду. Більш загальні визначники обчислюються, користуючись властивостями визначника. Один з спеціальних видів визначників є визначник трикутного вигляду.

В ньому визначаються дві діагоналі. Елементи a₁₁,a₂₂,,…,a_nn утворюють головну діагональ, елементи a_1n,a_2,n-1,a_n1 утворюють побічу діагональ.

Означення. Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють 0.

Знайдемо цей визначник. За означенням, в кожен добуток, з яких складається визначник, входить по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика. Відшукаємо добутки, які не дорівнюють 0. Зрозуміло, якщо елементом першого стовпчика в добутку є деякий елемент першого стовпчика в добутку є деякій елемент, відмінний від a₁₁, то добуток дорівнює 0, оскільки містить нульовий співмножник. Таким чином, в ненульовий добуток може входити з першого стовпчика лише елемент a₁₁. Цей елемент є елементом першого рядка, тоді, за означенням, іншого елемента з першого рядка в добутку немає. Тоді з другого стовпчика в добуток може входити лише елемент a₂₂ , далі, аналогічно, з третього стовпчика елемент a₃₃. Продовжуючи ці міркування, одержуємо, що єдиний добуток, який може бути нульовим, є добуток. Визначимо знак при даному добутку. Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2,...,n. Число інверсій в перестановці дорівнює 0, перестановка парна і знак при добутку „+”. Таким чином, Δ= a₁₁,a₂₂,…,a_nn. Зрозуміло, що якщо при деякому значенні індекса a_ii=0, то в єдиному добутку, якій може бути ненульовим, є нульовий співмножник. Тоді Δ=0. Таким чином, можна зробити висновок: визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі

Δ= a₁₁,a₂₂,…,a_nn

Означення. Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють 0.

Знайдемо цей визначник. З міркувань, аналогічних міркуванням для визначників трикутного вигляду відносно головної діагоналі, випливає, що єдиним ненульовим добутком визначника Δ₁ може бути лише добуток елементів побічної діагоналі a_1na_2,n-1…a_n1, причому, якщо принаймні один з елементів побічної діагоналі дорівнює 0, то і Δ₁=0. Визначимо знак при даному добутку. Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку n,n-1,n-2,…,1. В цій перестановці число n утворює інверсії з всіма іншими числами, тобто n-1 інверсій. Число утворює інверсії з всіма числами, що стоять після нього, тобто n-2 інверсій і т.д., нарешті, число 2 утворює інверсію з числом 1, що стоїть після нього. Число всіх інверсій дорівнює (сума n-1 членів арифметичної прогресії). Тому добуток входить до визначника зі знаком . Звідси

.

Транспонування визначника.

Нехай дається деякий визначник n- го порядку

Складаємо повний визначник Δ₁ за таким правилом. В перший стовпчик визначника Δ₁ запишемо елементи першого рядка визначника Δ, не змінюючи їх порядок. Далі, в другий стовпчик визначника Δ₁ запишемо елементи другого рядка визначника Δ, не змінюючи їх порядок і так далі. В n-й стовпчик визначника Δ₁ запишемо елементи n-го рядка визначника Δ. Такий процес називається транспонуванням визначника Δ, а визначник Δ₁ називається транспонованим визначником для визначника Δ.

Транспонування можна виконати також симетричним відображенням визначника відносно головної діагоналі.

Теорема. Транспонування не змінює величину визначника.

Доведення. Нехай.

, .

Покажемо, що Δ= Δ₁.. Для зручності елементи визначника Δ, позначимо як b_ij=a_ji , . Тоді .

Ця сума дорівнює визначнику Δ за другим означенням, тобто Δ₁= Δ..

Зауваження. З теореми випливає такий факт: якщо деяку властивість F визначника , пов’язану з величиною визначника, має система рядків визначника, то таку властивість має і система його стовпчиків.

Дійсно, якщо властивість F має система рядків визначника Δ, то, оскільки величина транспонованого визначника Δ₁ рівна величині Δ, цю властивість має і система рядків визначника Δ₁, тобто система стовпчиків визначника .

Властивості визначників.

Властивості визначників дають можливість обчислювати визначники загального вигляду. Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника, але, за попереднім зауваженням, вони мають місце і для стовпчиків визначника.

1. Нульовим рядком називається рядок визначника, всі елементи якого дорівнюють 0.

* Визначник, якій містить нульовий рядок, дорівнює 0.

Доведення. Нехай - й рядок визначника Δ нульовий. За означенням, в кожному добутку, з яких складається визначник, є співмножник з i- го рядка. Таким чином, кожний добуток містить нульовий співмножник. Це означає, що всі добутки дорівнюють 0 і Δ=0.

2. * Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Доведення. Нехай

,

Визначник Δ₁ одержано з визначника Δ перестановкою k-го і l-го рядків. Покажемо, що = - . Позначимо для зручності елементи визначника , як b_ij. Тобто, b_i,j=a_i,j при ; b_kj=a_lj , ;b_lj=a_kj, . Зрозуміло, що визначники Δ і Δ₁ складаються з однакових добутків, тому перевіримо знаки при рівних добутках. Зафіксуємо один з добутків визначника Δ, упорядкований за першим індексом a_1α1a_2α2…a_kαk…a_lαl…a_nαn. При цьому добутку у визначнику Δ знак дорівнює .

В позначеннях елементів визначника Δ₁ цей добуток має вигляд b_1α1b_2α2…b_lαk…b_kαl…b_nαn Упорядкуємо цей добуток за першим індексом. Одержимо добуток b_1α1b_2α2…b_kαl…b_lαk…b_nαn . Другі індекси утворюють перестановку α₁, α₂,…, α_l,…, α_k,…, α_n, тому, за означенням, при цьому добутку у визначнику Δ₁ знак . Від перестановки чисел α₁, α₂,…, α_k,…, α_l,…, α_n . до перестановки α₁, α₂,…, α_l,…, α_k,…, α_n можна перейти за допомогою однієї транспозиції. Тому за теоремою 2 про перестановки, ці перестановки різної парності і знаки при даному фіксованому добутку у визначниках Δ_i і Δ₁ різні. Оскільки зафіксований добуток довільний, то Δ ₁= - Δ.

3. * Якщо два рядки визначника однакові, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай i- й і j - й рядки визначника Δ однакові. Переставимо ці рядки. Визначник не змінюється. З іншого боку, за властивістю 2, він змінює знак. Звідси Δ = - Δ і Δ = 0.

4. * Якщо рядок визначника Δ домножити на число λ, то і весь визначник домножається на λ.

Доведення. Припустимо, що i-й рядок визначника визначника помножається на число λ. Одержуємо визначник помножається на число λ. Одержуємо визначник

Тоді

З цієї властивості випливає таке правило. Якщо кожний елемент деякого рядка визначника домножений на деяке число λ, то це число можна винести за знак визначника.

5. Два рядки визначника (a_i1,a_i2,…,a_in) і (a_j1,a_j2,…,a_jn) називаються пропорційними, якщо існує число λ таке, що a_j1=λa_i1, a_j2=λa_i2,…, a_jn=λa_in. Таким чином, один з пропорційних рядків можна одержати з іншого домноженням на деяке число.

Якщо два рядки визначника пропорційні, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай у визначнику Δ i- й та j- й рядки пропорційні. Це означає, що j-й рядок можна одержати з i- го рядка домноженням на деяке число λ. Винесемо λ з j-го рядка за знак визначника. Одержуємо визначник, у якому i- й та - й j-й рядки співпадають. З властивості 3 випливає, що цей визначник дорівнює 0, а тому = 0.

6. Cумою двох рядків (b_i1,b_i2,…,b_in) і (c_j1,c_j2,…,c_jn) називається рядок (b_i1+c_j1,b_i2+c_j2,…,b_in+c_jn). Якщо - й рядок визначника Δ є сумою двох рядків, то визначник Δ є сумою двох визначників Δ₁ і Δ₂ таких, що i- м рядком визначника Δ₁ є перший доданок, а i- м рядком визначника Δ₂ - другий доданок i- го рядка визначника Δ; решта рядків визначників Δ₁ і Δ₂ однакові і співпадають з відповідними рядками визначника Δ.

Доведення. Нехай

.

Тоді

=

= + = Δ₁+ Δ₂

Аналогічно, якщо i -й рядок визначника Δ є сумою k рядків, то визначник Δ є сумою k визначників.

7. * Якщо до рядка визначника додати інший рядок, домножений на число, то визначник не змінюється.

Доведення. Позначимо через A₁,A₂,…,A_n рядки визначника Δ.. Додаємо до i- го рядка A_i j-й рядок A_j (j ≠i), домноженний на число . Одержимо визначник Δ₁, i -й рядок якого має вигляд A_i+λA_j , а решта рядків співпадає з відповідними рядками визначника . Для того, щоб довести, що = , розкладаємо визначник Δ₁ в суму двох визначників за i - м рядком, згідно з властивістю 6, в першому з яких на i - му місці стоїть рядокA_i, а в другому – рядок λA_j.. Решта рядків обох визначників співпадає з відповідними рядками визначника Δ₁, а тому й визначника Δ. Тоді перший з цих двох визначників співпадає з визначником , а в другому i- й і j- й рядки пропорційні, тобто він дорівнює 0. Звідси = .

8. Нехай A_i1,A_i2,…,A_ik - деякі рядки визначника , λ₁,λ₂,…, λ_k - деякі числа. Рядок λ₁A_i1+λ₂A_i2,+…+ λ_kAik називається лінійною комбінацією рядків A_i1,A_i2,…,A_ik.

* Якщо у визначнику деякій рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.

Доведення. Нехай A₁,A₂,…,A_k - рядки визначника Δ, A_i= λ₁A_i1+λ₂A_i2,+…+ λ_kAik , причому жоден з індексів i₁,i₂,…,i_k не співпадає з i. Тобто i - й рядок визначника Δ є лінійною комбінацією рядків з номерами i₁,i₂,…,i_k . Тоді визначник Δ за i - м рядком можна розкласти в суму k визначників, у першому з яких на i- му місці стоїть рядок λ₁A_i1, на другому – λ₂A_i2 і т.д., в останньому – λ_лA_ik. У кожному з одержаних визначників є пропорційні рядки, тому кожен з них дорівнює 0. Звідси Δ = 0.

9. * Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Доведення. Нехай. A₁,A₂,…,A_n - рядки визначника Δ. До i- го рядка A додамо лінійну комбінацію інших рядків λ₁A_i1+λ₂A_i2,+…+ λ_kAik , одержуємо визначник Δ₁ у якому i- й рядок має вигляд A_i+ λ₁A_i1+λ₂A_i2,+…+ λ_kAik . За i- м рядком так, що в першому з них на i- му місці стоїть рядок A_i, а у другому – рядок λ₁A_i1+λ₂A_i2,+…+ λ_kAik . Перший визначник співпадає з Δ, а у другому i- й рядок є лінійною комбінацією інших рядків і він дорівнює 0 за властивістю 8.

Звідси Δ₁= Δ..

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента a_ij називається визначник M_ij, який одержуються викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. a_ij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента a_ij називається число

.A_ij=(-1)^i+j M_ij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ та доведемо, що всі добутки, що складають доданок a_ijA_ij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку a_ijA_ij. Оскільки a_ijA_ij=(-1)^i+ja_ijM_ij, довільний добуток з доданку a_ijA_ij має вигляд (-1)^i+ja_ija_1α1a_2α2… a_i-1αi-1 a_i+1αi+1…a_nαn. Оскільки визначник M_ij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник M_ij немає індекса i, а серед других індексів α₁, α₂,…, α_i-1, α_i+1,…, α_n, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α₁, α₂,…, α_i-1, α_i+1,…, α_n число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α₁, α₂,…, α_i-1, α_i+1,…, α_n число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)^i-1+k+j-1=(-1)^I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток входить до доданку a_ijA_ij. Добуток входить до визначника M_ij зі знаком(-1)^k. Тоді добуток входить до доданку a_ijA_ij=(-1)^i+jM_ij зі знаком (-1)^i+j (-1)^k=(-1)^i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= a_ijA_ij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок a_ijA_ij, входять до визначника Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в a_ijA_ij співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник M_ij , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з a_ij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент a_ij. Число таких добутків дорівнює . Таким чином, всі добутки доданку є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= a_ijA_ij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(a_i1,a_i2,…,a_in)= (a_i1+0+..0 ..0,0+a_i2+...+0,…,0+0+…a_in). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

= +

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином, Δ= Δ= a_i1A_i1+ a_i2A_i2+…+ a_inA_in.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що a_j1A_i1+ a_j2A_i2+…+ a_jnA_in=0.. Розглянемо допоміжний визначник

Зрозуміло, що Δ₁=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ₁= a_j1A_i1+ a_j2A_i2+…+ a_jnA_in.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.

Визначник Вандермонда.

Визначником Вандермонда n- го порядку називається визначник.

Доведемо, що .

Доведення проведемо індукцією за порядком n визначника

При n=2

Припустимо, що твердження виконується для визначника Вандкрмонда Δ_n-1 порядку n-1 і знайдемо визначник Δ_n. Як відомо, визначник не змінюється, якщо від деякого рядка відняти інший рядок, домножений на число. Тому у визначника Δ_n спочатку від останнього рядка віднімаємо рядок з номером (n-1), домножений на a₁. Потім від (n-1) – го рядка віднімемо рядок з номером n-2, домножений на і т.д., нарешті, від другого рядка віднімемо перший рядок, домножений на a₁. Ці операції не змінюють величин визначника.

Одержуємо

Розкладемо визначник за елементами першого стовпчика. Оскільки у першому стовпчику лише один ненульовий елемент, то

З кожного стовпчика можна винести множник за знак визначника. Тому

Одержуємо визначник Вандермонда порядку n-1. Враховуючи припущення індукції

Системи лінійних рівнянь

Нехай дана система m лінійних рівнянь з n невідомими

----------------------------

Введемо деякі основні означення.

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок.

Система лінійних рівнянь називається несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь дорівнюють нулю. Отже, однорідна система має вигляд

----------------------------

Система лінійних рівнянь називається квадратною, якщо число рівнянь в системі дорівнює числу змінних.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Нехай дана квадратна система n лінійних рівнянь з n змінними:

α₁₁x₁+α₁₂x₂+…+α_1nx_n=β₁

α₂₁x₁+α₂₂x₂+…+α_2nx_n=β₂ (1)

………………………….

Α_n1x₁+α_n2x₂+…+α_nnx_n=β_n

Складемо визначник з коефіцієнтів при змінних

	α11	α12	…	α1n
Δ=	α21	α22	…	α2n
	…	…	…	…
	αn1	αn2	…	αnn

Визначник Δ називається головним визначником системи лінійних рівнянь (1).

Будемо також розглядати n допоміжних визначників Δ_i, і=

	α11	α12	…	α1,i-1	β1	α1,i+1	…	α1n
Δi=	α21	α22	…	α2,i-1	β2	α2,i+1	…	α2n
	…	…	…	…	…	…	…	…
	αn1	αn2	…	αn,i-1	βn	αn,i+1	…	αnn

Отже, визначник Δ_i одержується з визначника Δ заміною i-го стовпчика стовпчиком вільних членів.

ТЕОРЕМА (Крамера). Якщо головний визначник Δ квадратної системи лінійних рівнянь (1) не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за правилом:

(2)

Формули (2)називаються формулами Крамера.

Доведення. Позначимо через A_ij (i,j= ) алгебраїчне доповнення елемента α_ij визначника Δ.

Домножимо перше рівняння системи (1) на A₁₁, друге рівняння – на А₂₁ і, продовжуючи так далі, n-е рівняння системи домножимо на А_n1. Додамо одержані рівняння. Отримаємо рівняння, яке є наслідком системи:

(α₁₁A₁₁+α₂₁A₂₁+…+α_n1A_n1)x₁+(α₁₂A₁₁+α₂₂A₂₁+…+α_n2A_n1)x₂+…+(α_1nA₁₁+α₂nA₂₁+…+α_nnA_n1)x_n=β₁A₁₁+β₂A₂₁+...+β_nA_n1.

У цьому визначнику коефіцієнтом при змінній x₁, є розклад визначника Δ за елементами першого стовпчика. Отже, цей коефіцієнт дорівнює Δ. Коефіцієнтом при x_j при j≠1 є сума добутків елементів j-го стовпчика визначника Δ на алгебраїчні доповнення першого стовпчика. За наслідком 2 теореми про розклад визначника, ця сума дорівнює нулю. Таким чином, в одержаному рівнянні коефіцієнти при х₂, х₃, ..., х_n дорівнюють нулю. Вільний член є розкладом визначника Δ₁ за елементами першого стовпчика. Отже рівняння має вигляд:

Δx₁= Δ₁

Далі, аналогічно, перше рівняння в системі (1) помножаємо на А₁₂, друге рівняння – на А₂₂ і, продовжуючи цей процес, n-е рівняння помножаємо на А_n2. додамо всі рівняння і одержуємо рівняння

Δx₂= Δ₂.

Кожен крок процесу полягає в тому, що одержується рівняння, з якого виключаються всі змінні крім однієї. Виконавши n кроків, отримаємо систему лінійних рівнянь, яка є наслідком системи (1)

Δx₁= Δ₁

Δx₂= Δ₂ (3)

……….

Δx_n= Δ_n

Зрозуміло, що всі розв’язки системи лінійних рівнянь (1), якщо вони існують, є розв’язками і системи (3). За умовою теореми Δ≠0, тому система рівнянь (3) має єдиний розв’язок

Це означає, що система рівнянь (1) має не більше одного розв’язку. Для доведення теореми залишається перевірити, що одержаний розв’язок системи (3) є розв’язком системи (1). Підставимо значення х₁, х₂, …, х_n в і-е рівняння системи і при цьому кожен визначник Δ_і (і= ) розкладемо за елементами і-го стовпчика:

α_i1x₁+α_i2x₂+…+α_iix_i+…+α_inx_n=α_i1Δ₁/Δ+α_i2Δ₂/Δ+…+α_inΔ_n/Δ=

= (α_i1Δ₁+α_i2Δ₂+…++α_iiΔ_i+…+α_inΔ_n)=

= (α_i1(β₁A₁₁+β₂A₂₁+…β_iA_i1+…+β_nA_n1)+α_i2(β₁A₁₂+β₂A₂₂+…+β_iA_i2+…+β_nA_n2)+ …+α_ii(β₁A_1i+β₂A_2i+…+β_iA_ii+…+β_nA_ni)+…+α_in(β₁A_1n+β₂A_2n+...…+β_iA_in+…+β_nA_nn))=

(β₁(α_i1A₁₁+α_i2A₁₂+…α_iiA_1i+…α_inA_1n)+β₂(α_i1A₂₁+α_i2A₂₂+..…+αiiA_2i+…+α_inA_2n)+…+

+β_i(α_i1A_i1+α_i2A_i2+…+α_iiA_ii+…+α_inA_in)+…+β_n(α_i1A_n1+α_i2A_n2+α_iiA_ni+…+α_inA_nn))=

= (β₁0+β₂0+…+β_iΔ+…+β_n0)= β_iΔ=β_i

(Тут ми скористалися тим, що в дужках коефіцієнтом при β_i є розклад визначника Δ за елементами і-го рядка, а коефіцієнтом при β_j при j≠i є сума добутків елементів і-го рядка визначника Δ на алгебраїчні доповнення j-го рядка).

Отже, одержаний розв’язок системи рівняння (3) задовольняє і-му рівнянню системи (1), тобто розв’язок системи (3)

є розв’язком системи (1) і цей розв’язок єдиний. Теорему доведено.

Дійсний простір n – вимірних векторів.

Дійсним n – вимірним вектором будемо називати будь-яку упорядковану послідовність з n дійсних чисел.

Вектор будемо позначати так:a=(α₁, α₂,… α_n), де α₁, α₂,… α_n є R. При цьому числа α₁, α₂,… α_n будемо називати координатами або компонентами вектора . Вектор  =(0,…,0) будемо називати нульовим або нуль-вектором. Для векторів вводимо дві операції – додавання та множення на скаляри. Під сумою двох векторів a=(α₁, α₂,… α_n), і b=(β₁, β ₂,… β_n) будемо розуміти вектор a+b=(α₁+β₁, α₂+ β₂,… α_n+ β_n).

Неважко перевірити, що операція додавання векторів має такі властивості:

. Комутативність:a+b=b+a для будь-яких векторів a,b,c.

. Асоціативність: (a+b)+c=a+(b+c) для будь-яких векторів a,b,c.

. Для будь-якого вектора a a+=+a=a

Протилежним вектором для даного вектора a=(α₁, α₂,… α_n) будемо називати вектор . -a=(-α₁, -α₂,… -α_n),

. Для будь-якого вектора a a=(-a)-(-a)= .

Поняття протилежного вектора дозволяє визначити операцію віднімання векторів, похідну від операції додавання.

Під різницею векторів a=(α₁, α₂,… α_n), і b=(β₁, β ₂,… β_n) будемо розуміти вектор a-b=a+(-b)= =(α₁-β₁, α₂- β₂,… α_n- β_n).

Визначимо тепер операцію множення вектора на скаляр. Нехай a=(α₁, α₂,… α_n)- деякий вектор,λ є R - деяке число. Під вектором λa будемо розуміти вектор λa=(λα₁, λα₂,… λα_n).

Числа, на які множаться вектори, будемо називати скалярами.

Операція множення векторів на скаляри має наступні властивості:

.α(βa)=(αβ)a і для будь-якого вектора a .

1a=a,0a=, (-1)a=-a для будь-якого вектора a.

.(α+β)a= αa+βa і для будь-якого вектора a.

α(a+b)=αa+αb. і для будь-яких векторів a і b.

Множина всіх дійсних n – вимірних векторів з введеними операціями додавання та множення векторів на скаляри називається дійсним простором n – вимірних векторів і позначається Rⁿ..

Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів.

Системою векторів в просторі Rⁿ будемо називати будь-яку скінчену послідовність векторів Нехай a₁, a₂,… a_m є Rⁿ Нехай a₁, a₂,… a_m є Rⁿ - деяка система векторів, α₁, α₂,… α_m є R - система скалярів. Тоді вектор a= α₁a₁+α₂a₂+…α_ma_m називається лінійною комбінацією системи векторів a₁, a₂,… a_m.

Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють 0. Зрозуміло, що тривіальна лінійна комбінація будь-якої системи векторів рівна 0.

Лінійна комбінація називається нетривіальною, якщо серед її коефіцієнтів є принаймні один ненульовий.

Система векторів називається лінійно залежною, якщо для неї існує нетривіальна лінійна комбінація, рівна .

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо для неї лише тривіальна лінійна комбінація, рівна .

Іншими словами, якщо a₁, a₂,… a_m. - лінійно незалежна система і λ₁a₁+λ₂a₂+… +λ_ma_m= 

для деяких і λ₁,λ₂,…,λ_m є R, то λ₁=,λ₂=…=λ_m= .

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

1. Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a₁, a₂,… a_m- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a₁+0a₂+… +0a_m=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

2. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a₁, a₂,… a_m лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α₁a₁+α₂a₂+…α_ma_m =.

Комбінація нетривіальна, тому α_i ≠0 для деякого i. (1≤i≤m). Тоді

α_i a_i= -α₁a₁-α₂a₂-…-α_i-1a_i-1-α_i+1a_i+1-…-α_ma_m , звідси

Отже, вектор a_i лінійно виражається через інші вектори системи.

Достатність. Припустимо, що в системі векторів a₁, a₂,… a_m вектор a_i . (1≤i≤m) лінійно виражається через інші вектори системи

a_i= β₁a₁+β₂a₂+…+β_i-1a_i-1+β_i+1a_i+1-…+β_ma_m , звідси

β₁a₁+β₂a₂+…+β_i-1a_i-1-a_i+β_i+1a_i+1-…+β_ma_m= або

β₁a₁+β₂a₂+…+β_i-1a_i-1+(-1)a_i+β_i+1a_i+1-…+β_ma_m=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі a_i дорівнює –1. Отже, система лінійно залежна.

3. Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a₁, a₂,… a_m,b₁,…,b_k підсистема a₁, a₂,… a_m лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ₁a₁+λ₂a₂+… +λ_ma_m= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λ_i ≠0 для деякого i. (1≤i≤m). Але тоді існує комбінація λ₁a₁+λ₂a₂+…+ λ_ia_i+…+λ_ma_m+ 0b₁+…+b_k = . Комбінація нетривіальна, оскільки λ_i ≠0. Тому система лінійно залежна.

4. Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а₁, а₂, …., а_m і b₁, b₂. …., b_k – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай а₁, а₂, …, а_m, і b₁, b₂, …, b_k – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то m≤k.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за числом k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b₁. Всі вектори першої системи а₁, а₂, …,a_m лінійно виражаються через b₁. За умовою вважаємо, що m>1, отже а₁=α₁b₁, а₂=α₂b₁, …, а_m=α_mb₁. Якщо серед коефіцієнтів α₁, α₂, …, α_m є нульовий, то до першої системи входить θ, а тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що α_j≠0, j= . Оскільки m>1, беремо два вектори a₁=α₁b₁, a₂=α₂b₁. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а₁, а₂ лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a₁=α₁₁b₁+α₁₂b₂+…+α_1,k-1b_k-1+α_1kb_k

a₂=α₂₁b₁+α₂₂b₂+…+α_2,k-1b_k-1 +α_2kb_k

……………………………………

a_m-1=α_m-1,1b₁+α_m-1,2b₂+…+α_m-1,k-1b_k-1+α_m-1,kb_k

a_m=Α_m1b₁+α_m2b₂+…+α_m,k-1b_k-1+α_mkb_k

Розглянемо систему коефіцієнтів α_1k, α_2k, …,α_m-1,k, α_mk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а₁, а₂, …, а_m-1, а_м лінійно виражаються через b₁, b₂, .., b_k-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α_1k, α_2k, …,α_m-1,k, α_mk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що α_mk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор b_k з усіх лінійних комбінацій, крім останньої. Для цього від вектора а₁ віднімемо , далі від а₂ віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від a_m-1 віднімемо вектор .Одержимо

a₁- =α_{11 }b₁+ α_{12 }b₂+…+ α_{1,k-1 }b_k-1=d₁

a₂- =α_21 b₁+ α_{22 }b₂+…+ α_2,k-1b_k-1=d₂

…………………………………………………….

a_m-1- = α_{m-1,1 }b₁+ α_m-1,2 b₂+…+ α_m-1,k-1 b_k-1= d_m-1

Ситема векторів d₁, d₂, …,d_m-1 лінійно виражається через систему b₁, b₂, .., b_k-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d₁, d₂, …,d_m-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ₁d₁+γ₂d₂+…+γ_m-1d_m-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γ_j≠0 для деякого значення індексу j (1≤j≤m-1). Отже,

aбо

γ₁a₁+ γ₂a₂+… γ_m-1a_m-1+ γ_ma_m=θ, де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γ_j≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.

Поняття базису.

Означення. Базисом системи векторів a₁, a₂,… a_m є Rⁿ називається її підсистема a_i1,a_i2,..,a_ik така, що

1. Підсистема a_i1,a_i2,..,a_ik лінійно незалежна;

2. Всі вектори системи a₁, a₂,… a_m лінійно виражаються через a_i1,a_i2,..,a_ik.

Означення. Базисом простору Rⁿ називається система векторів a₁, a₂,… a_n є Rⁿ така, що

1. система a₁, a₂,… a_n лінійно незалежна;

2. Кожний вектор простору Rⁿ лінійно виражається через a₁, a₂,… a_n. .

Покажемо існування базису простору Rⁿ. Візьмемо в просторі таку систему векторів:

Перевіримо виконання умови базису для даної системи.

1. Лінійна незалежність. Беремо лінійну комбінацію

α₁e₁+ α₂e₂+…+ α_ne_n =,

тоді для координат векторів виконується

(α₁, α₂,…, α_n)=(0,0,…,0).

Звідси α₁= α₂=…=α_n=0, лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна.

2. Будь-який вектор простору лінійно виражається через e₁,e₂,…,e_n . Беремо довільний вектор x=(β₁, β₂,…, β_n). Тоді x= β₁e₁+ β₂e₂+…+ β_ne_n .

Отже, умови базису виконуються. Базис e₁,e₂,…,e_n називається стандартним базисом простору Rⁿ.

Ми переконалися в тому, що в просторі Rⁿ існує лінійно незалежна система, яка складається з n векторів. Припустимо, що в просторі існують лінійно незалежні системи з числом векторів, більшим n . Візьмемо одну таку систему a₁, a₂,… a_m є Rⁿ , m>n. За доведеним, вектори e₁,e₂,…,e_n утворюють базис простору, тому всі вектори простору лінійно виражаються через e₁,e₂,…,e_n. Зокрема, це означає, що всі вектори системи a₁, a₂,… a_m лінійно виражаються через e₁,e₂,…,e_n. Але, оскільки m>n, то за лемою про дві системи, вектори a₁, a₂,… a_m лінійно залежні, що суперечить припущенню. Отже, ми довели наступне твердження.

В просторі Rⁿ будь-яка система з m векторів m>n лінійно залежна.

Властивості базисів.

1. Всі базиси простору Rⁿ складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rⁿ існує стандартний базис e₁,e₂,…,e_n . Припустимо, a₁, a₂,… a_m - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то m≤n.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи e₁,e₂,…,e_n лінійно виражаються через базис a₁, a₂,… a_m .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e₁,e₂,…,e_n лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

2. В просторі Rⁿ будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a₁, a₂,… a_n - лінійно незалежна система векторів в просторі Rⁿ . Покажемо, що будь-який вектор b є Rⁿ лінійно виражається через a₁, a₂,… a_n. Як показано вище, система векторів a₁, a₂,… a_n,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α₁a₁+α₂a₂+…α_na_n+βb=.

Якщо β=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a₁, a₂,… a_n, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему a₁, a₂,… a_n. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rⁿ.

3. В просторі Rⁿ будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення. Нехай a₁, a₂,… a_m - лінійно незалежна система векторів в просторі . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a₁, a₂,… a_m умови базису не виконуються, а тому існує вектор a_m+1 є Rⁿ , який не виражається через a₁, a₂,… a_m . Покажемо, що система a₁, a₂,… a_m,a_m+1 лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m +α_m+1a_m+1=.

Якщо , то , тобто вектор a_m+1 лінійно виражається через a₁, a₂,… a_m , що суперечить припущенню. Отже, a_m+1=. Звідси

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α₁= α₂=…=α_m=0 Тобто, система a₁, a₂,… a_m,a_m+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор a_m+2 є Rⁿ, який не виражається через a₁, a₂,… a_m+1 . Система векторів a₁, a₂,… a_m,a_m+1,a_m+2 лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rⁿ не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.

Поняття рангу.

В довільній системі векторів a₁,a₂,…a_m візьмемо всі лінійно незалежні підсистеми. Серед них фіксуємо ту, що складається з найбільшого числа векторів. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a₁, a₂,… a_m .

Таким чином, рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі.

Якщо система векторів складається лише з θ , то в ній немає лінійно незалежних підсистем , а тому її ранг вважається рівним 0.

Зрозуміло, що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі. Якщо система лінійно незалежна, її ранг менше кількості векторів системи.

Для обчислювання рангів системи векторів використовуються наступні три теореми про ранг.

Теорема 1 (про ранг) ранг системи векторів a₁,a₂,… a_m дорівнює числу r (r>0) тоді і тільки тоді, коли в системі існує лінійно незалежна підсистема з r (r>0) векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що в системі векторів a₁,a₂,… a_m підсистема a₁,a₂,… a_r лінійно незалежна і всі вектори системи лінійно виражаються через a₁,a₂,… a_r . Якщо r=m, то система лінійно незалежна, і її ранг дорівнює r. Інакше можна зробити висновок, що в системі вже існує лінійно незалежна підсистема з r векторів, і, згідно з означенням, достатньо переконатись в тому, що кожна підсистема, що складається з більшого ніж r числа векторів лінійно залежна. Візьмемо таку підсистему a_i1,a_i2,…,a_ik k>r. За умовою теореми всі вектори a_i1,a_i2,…,a_ik лінійно виражаються через систему a₁,a₂,… a_r. Оскільки k r, за лемою про дві системи система векторів a_i1,a_i2,…,a_ik лінійно залежна.

Достатність. Нехай ранг системи векторів a₁,a₂,… a_m дорівнює r. За означенням, в системі існує лінійно незалежна підсистема з r векторів. Якщо r=m, це означає, що вся система лінійно незалежна. Припустимо r<m, тоді, за означенням, в системі є лінійно незалежна підсистема a_i1,a_i2,…,a_ir, а всі підсистеми, що складаються з r+1 векторів, лінійно залежні. Для доведення теореми достатньо показати, що будь-який вектор системи, який не входить до підсистеми a_i1,a_i2,…,a_ir, лінійно виражається через цю підсистему. Нехай a_j - такий вектор. Тоді система векторів a_i1,a_i2,…,a_ir,a_j складаються з r + 1 векторів, тобто лінійно залежна.

Це означає, що існує нетривіальна лінійна комбінація

λ₁a_i1+λ₂a_i2 +… + λ_ra_ir+ λ_r+1a_j =.

Комбінація нетривіальна, тому серед її коефіцієнтів є ненульовий. Припустимо, що λ_r+1=0 тоді λ_s≠0 для деякого s≤r і при цьому λ₁a_i1+λ₂a_i2+…+λ_sa_is+… + λ_ra_ir= .

Одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів a_i1,a_i2,…,a_ir і приходимо до протиріччя. Отже λ_r+1≠0. Тоді

Таким чином, вектор a_j лінійно виражається через вектори підсистеми a_i1,a_i2,…,a_ir

і теорему доведено.

Зауваження. Фактично, в останній теоремі доведено, що ранг системи векторів дорівнює числу векторів в її базисі.

Теорема 2 (про ранг). Ранг системи векторів не змінюється, якщо до неї дописується вектор, який лінійно виражається через цю систему. Ранг системи векторів не змінюється, якщо з неї викреслюється вектор, який лінійно виражається через інші вектори системи.

Доведення. Припустимо, ранг системи векторів a₁,a₂,…a_m дорівнює r і вектор a_m+1 лінійно виражається через вектори a₁,a₂,…a_m. Доведемо, що ранг системи векторів a₁,a₂,…a_m,a_m+1 також дорівнює r. За теоремою 1 (про ранг), в системі a₁,a₂,…a_m існує лінійно незалежна підсистема з r векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи. Припустимо, що підсистему утворюють вектори a₁,a₂,…a_r. Розглянемо систему a₁,a₂,…a_m,a_m+1. В цій системі вектори a₁,a₂,…a_m лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему a₁,a₂,…a_r. Вектор a_m+1 лінійно виражається через a₁,a₂,…a_m Тому цей вектор можна лінійно виразити через a₁,a₂,…a_r. Отож, в системі векторів a₁,a₂,…a_m,a_m+1 всі вектори лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему з r векторів a₁,a₂,…a_r. Таким чином, за теоремою 1 (про ранг) ранг системи a₁,a₂,…a_m,a_m+1 дорівнює r.

Припустимо тепер, що з системи векторів викреслюються деякі вектори а, який лінійно виражається через інші вектори системи. Нехай ранг одержаної системи дорівнює r. Допишемо до цієї системи вектор а. За доведеним вище, ранг системи векторів при цьому не змінюється. Але ми одержуємо початкову систему. Отже, ранг початкової системи також дорівнює r. Теорему доведено.

Означення. До елементарних перетворень системи векторів належать перетворення двох типів:

1 Множення деякого вектора системи на ненульове число.

2 Додання до вектора системи деякого іншого вектора системи.

Теорія 3 (про ранг). Елементарні перетворення не змінюють рангу системи векторів

Доведення. Спочатку доведемо перетворення для перетворень першого типу. Припустимо, в системі векторів a₁,a₂,…,a_i,…a_m, вектор a_i домножається на число λ (λ≠0). Будемо розглядати дві системи векторів.

I a₁,a₂,…a_i-1,a_i,a_i+1,…a_m

II a₁,a₂,…a_i-1,λa_i,a_i+1,…a_m

Складемо третю систему векторів, дописуючи вектор до першої системи:

III a₁,a₂,…a_i-1,a_i,a_i+1,…a_m, λa_i .

Зрозуміло, що вектор лінійно виражається через вектори системи, першої системи (λa_i=0∙a₁+0∙a₂,…0∙a_i-1+λ∙a_i+0∙a_i+1,…+0∙a_m). Тому за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої систем рівні. Друга система одержується з третьої викресленням вектора a_i. При цьому, оскільки λ≠0, то Таким чином, вектор лінійно виражається через інші вектори третьої системи, а тому за теоремою 2 (про ранг), ранг третьої та другої систем рівні.

Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи.

Далі доведемо теорему для перетворень другого типу. Нехай в системі векторів a₁,a₂,…,a_i,…,a_j,…a_m до вектора a_i додається вектор a_j.

Аналогічно попередньому, розглядаються дві системи векторів

І a₁,a₂,…a_i-1,a_i,a_i+1,…,a_j,…,…a_m

ІІ a₁,a₂,…a_i-1,a_i+a_j,a_i+1,…,a_j,…,…a_m

Далі складемо третю систему векторів, дописуючи вектори a_i+a_j до першої системи:

III a₁,a₂,…a_i-1,a_i,a_i+1,…,a_j,…,…a_m ,a_i+a_j.

Вектор a_i+a_j лінійно виражається через вектори першої системи, тому за, теоремою 2 (про ранг), ранг першої та третьої системи рівні. Друга система одержується з третьої ви- кресленням вектора a_i при цьому a_i=(a_i+a_j)-a_j.

Отже, вектор a_i лінійно виражається через інші вектори третьої системи.

Тому, за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої системи рівні.

Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи. Теорему доведено.

Поняття рангу матриці

Будемо розглядати матрицю A порядку m+n з дійсними елементами

Рядки цієї матриці можна розглядати як n- вимірні вектори a₁, a₂,… a_m з дійсними координатами (елементи простору Rⁿ). Ранг системи векторів a₁, a₂,… a_m називається горизонтальним рангом матриці (або рангом матриці за рядками) і позначається .r_r(A).

Стовпчики матриці A можна розглядати як m- вимірні вектори b₁, b₂,…b_n

з дійсними координатами (елементи простору R^m). Ранг системи векторів b₁, b₂,…b_n називається вертикальним рангом матриці A (або рангом матриці A за стовпчиками) і позначається r_b(A).

Введемо ще одне значення рангу матриці.

Мінором матриці A порядку k (k≤m,k≤n) називається визначник, побудований на перетині будь-яких k рядків і k стовпчиків матриці.

В матриці A візьмемо всі мінори, які не дорівнюють нулю. Серед них виберемо мінор найвищого порядку. Порядок цього мінору будемо називати рангом матриці A за мінорами і позначати r_m(A). Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, ранг матриці за мінорами будемо вважати рівним нулю.

Поняття базисного мінору.

Припустимо Δ_r - деякий мінор порядку r матриці A (r≤m,r≤n). Мінор порядку r+1 матриці називається оточуючим для мінора Δ_r , якщо його матриця містить в собі матрицю мінору Δ_r . Таким чином, оточуючий мінор для мінора Δ_r можна одержати дописуючи до мінора Δ_r один рядок і один стовпчик.

Нехай матриця A ненульова (існує ненульовий елемент). Базисним мінором матриці A називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або оточуючих мінорів не існує.

Існування базисного мінора.

Припустимо A - ненульова матриця. Тоді для неї існує базисний мінор. Для доведення наведемо наступний алгоритм пошуку базисного мінора.

1. Оскільки матриця ненульова, фіксується деякий ненульовий елемент, який утворює ненульовий мінор Δ₁ порядку 1.

2. Для мінора Δ₁ складаються всі можливі оточуючі мінори. Для цього послідовно до мінора Δ₁ дописуються всі можливі рядки і всі можливі стовпчики. Якщо всі оточуючі мінори дорівнюють нулю, то, за означенням, мінор Δ₁ базисний, і процес закінчується . Інакше фіксується один з оточуючих мінорів Δ₂ порядку 2, який не дорівнює нулю.

3. Для мінора Δ₂ складаються всі можливі оточуючі мінори, послідовно дописуючи всі можливі рядки і стовпчики. Якщо всі оточуючі мінори дорівнюють нулю, то, за означенням, мінор Δ₂ базисний, і процес закінчується. Інакше фіксується один з оточуючих мінорів Δ₃ порядку 3, який не дорівнює нулю, і для нього складаються всі оточуючі мінори.

4. Оскільки на кожному кроці порядок мінору збільшується, то через k кроків одержується мінор Δ_k порядку k, який не дорівнює нулю і такий, що всі його оточуючі мінори рівні нулю, або для нього оточуючих мінорів не існує. Тоді за означенням, мінор Δ_k базисний.

Зауваження. В загальному випадку в ненульовий матриці A може існувати багато базисних мінорів. Наведений алгоритм дозволяє знайти лише один з них.