20. Конечность симплекс-метода. Зацикливание. Геометрическая интерпретация симплекс-метода.

Опр.1 Метод назовём конечным, если оптимальный план можно построить за конечное число итераций.

Опр. 2 ЗЛП назовём невырожденной, если среди всех её базисных планов нет вырожденных.

Теор. Для невырожденной ЗЛП, если решение её существует, начиная с начального базисного плана симплекс-метод конечен.

Д-во. В соотв-вии с методикой построения симплексной итерацией при переходе от к нужно удалить из базисной матрицы -ый столбец и ввести -столбец. Кол-во столбцов матрицы A равно n. Значит, max число базисных матриц, которое можно построить равно . Ни одна матрица не повторяется, т.к. задача невырожденная. Число даст max число итераций, след-но, симплекс-метод конечен.

Если ЗЛП вырожденная, то симплексная итерация может привести к построению вырожденного плана , т.е. плана, у кот. сущ. базисная компонента, равная 0.

На последующих итерациях можем получить какие-то новые базисные планы, а потом через несколько шагов опять вернуться к плану , т.е. произойдёт зацикливание.

Зацикливание может происходить только для вырожденной ЗЛП, т.е. симплекс-метод для нее может быть как конечен так и бесконечен. Самый простой способ выйти из зацикливания: возвратиться к плану и попытаться улучшить другую небазисную компоненту, т.е. выбрать другое .

Геометрическая интерпретация симплекс-метода.

Мн-во Х называется многогранным, если оно образовано пересечением конечного числа полупространств и гиперплоскостей. Например:

- в пространстве : AB – многогранное множество:

,

- в пространстве : .

В ЗЛП образуют многогранное мн-во в Базисным планам в этом множестве соответствуют угловые точки .

Геометрическая интерпретация симплекс-метода:

Симплекс-метод – есть переход от одной угловой точки к другой вдоль ребра их соединяющего в сторону возрастания целевой функции.

22. Двойственная задача. Теория двойственности лп.

Рассмотрим ЗЛП в канонической форме: (1) и назовём её прямой задачей. Решение этой задачи исследуем с помощью двойств-ой задачи.

Построим задачу, двойственную задаче (1). Пусть – некот. базисный план задачи (1) c базисной м-цей Известны формулы вычисления оценок: Обозначим . Тогда для оценок будут справедливы формулы :

.

Пусть на плане выполнился критерий оптимальности, т.е. - оптимальный базисный план задачи (1). Тогда Вычислим (2)

Т.о. значение целевой ф-ции на оптимальном базисном плане задачи (1) удовл. (2). Рассм. произвольный m-вектор , удовлетворяющий нер-ству: (явл. бобщением формул . Вычислим .Т.о., для произвольного вектора должно выполняться условие . (3). Задача двойственная задаче (1) на основании формул (2), (3) имеет вид (4).

Для каждой ЗЛП в канонической форме можно записать двойственную задачу, к задаче в нормальной форме можно выписать двойственную задачу предварительно приведя её к каноническому виду. Теория двойственности состоит из теоремы существования, теоремы двойственности и следствий. Она указывает на связь между решениями прямой и двойственной задач.

Т.1 (т-ма существования).

Для существования решения ЗЛП необх. и достат., чтобы не были пусты мн-ва планов прямой и двойственной задач.

Т.2 (т-ма двойственности).

Для сущесвования решения прямой задачи ЛП необх. и достат., чтобы существовало решение двойственной задач, при этом . (5)

Следствие1. На каждой паре базисных планов прямой и двойственной задач выполняется нер-во: .

Следствие2. (достаточное условие оптимальности).

Если на паре из прямой и двойственной задачи вып-ся условие (5), то –оптимальный базисный план прямой задачи, –оптимальный базисный план двойственной задачи.

24. Транспортная задача. Открытая и закрытая ТЗ. Теорема существования.

п.1 Постановка задачи. Теорема существования.

Однородный продукт, находящийся в пунктах производства в кол-ве ( ) требуется доставить в каждый из пунктов назначения в кол-ве ( ). Стоимость перевозки одной единицы продукта из пункта производства в пункт назначения равна , условных единиц стоимости ( ). Требуется найти оптимальный план перевозок, т.е. указать кол-во продукта, перевозимого из i-го пункта в j-ый при условиях: 1. Весь продукт из пунктов производства должен быть вывезен; 2. Запросы всех пунктов назначения должны быть удовлетворены; 3. Общие расходы по перевозкам должны ыть минимальными.

Математическая модель задачи.

(1) ; (2); (3); (4).

Транспортная задача (1)-(4) – наз-ся замкнутой. (5); (6); (7), (8).

(5)-(8) – транспортная задача в открытой форме. Задачу (5)-(8) можно свести к замкнутой, если ввести фиктивный пункт назначения , в кот. будут теоретически сведены остатки из всех пунктов производства.

, , , . В полученной задаче после ее решения нужно будет отбросить элементы Будем говорить, что для задачи (1)-(4) выполняется условие баланса, если: .(9)

Теорема о существовании. Для того, чтобы ТЗ (1)-(4) имела решение, необх. и достат., чтобы выполнялось усл-ие баланса (9).

Д-во (необх). Пусть - оптимальный план перевозок задачи (1)-(4), тогда .

(достат). Пусть усл-ие баланса выполнено и . Составим план перевозок по формуле: (10). Очевидно, и вып-ся условие (2) и (3). Т.е. , Из последней системы следует, что план допустимый, тогда мн-во планов явл. Непустым и замкнутым. Кроме того это мн-во явл. ограниченным, т.к. ,

Т.о. мн-во допустимых планов явл. компактом, а значит ф-ция (1) достигает на этом мн-ве своего экстремума, т.е. задача (1)-(4) будет иметь решение.