8. Классическое правило множителей Лагранжа в задаче с ограничениями типа равенств.

Опр. Классической ф-цией Лагранжа для задачи

(1)

- m вектор-функция,

, i=1, …,n. наз. ф-цию

(2)

Опр. Задачу (1) называют нормальной и точку локального минимума наз. нормальной точкой лок. минимума, если среди всех обобщенных векторов множителей Лагранжа соотв. точке нет таких, для которых

Если задача нормальная, то вместо обобщ. ф-ции Лагранжа можно рассм. классическую, т.е. считать

Лемма. Нормальной точке лок. минимума соотв. единственный вектор множителей Лагранжа .

(от противного)

Пусть точке соотв. два вектора множ. Лагранжа . Тогда по формуле

получаем Вычтем из 1-го уравнения второе и получим: точке соотв. вектор множ. Лагранжа вида , т.к.

не явл. нормальной?!!

Точку лок. минимума наз. обыкновенной, если в этой точке лин. не зависимы .

1. Точка лок. минимума явл. обыкновенной, тогда и только тогда, когда она нормальная.

-во. Необх.) Докажем, что если обыкнов., то она явл. нормальной. (от противного).

Пусть она обыкнов., но не явл. нормальной . Это рав-во означает лин.завис-ть векторов . Это противоречит тому, что явл. обыкновенной?!!

Дост.) от противного

Пусть явл. нормальной, но необыкновенной, то векторы лин. зависимы , т.е. Отсюда следует, что точке соотв. обобщ. вектор множителей Лагранжа , что противоречит предположению о нормальности точки

2.(классич. правило множ. Лагранжа)

Если обыкновенная точка лок. минимума задачи (1), то ненулевой вектор множителей Лагранжа , что выполняются условия (с классич. функцией Лагранжа):

т.к. точка - обыкнов, то она явл. нормальной. Норм. точке соотв. ед. вектор множителей Лагр. Первое условие следует из того, что -точка лок. минимума, второе условие соотв. ограничениям задачи

10. Достаточное условие оптимальности в задаче условной оптимизации с ограничениями типа равенств.

Задача условной оптимизации с ограничениями типа равенств имеет вид (1)

где - -вектор-функция, .

Пусть .

Определение. Точку назовём условно стационарной, если на паре выполняется условие .

Теорема (достаточное условие локальной оптимальности 2-го порядка).

Условно стационарная точка является точкой локального минимума задачи (1), если существует такой вектор множителей Лагранжа , что при выполн.условие .

12. Необходимое условие минимума 2-го порядка для гладких задач на условный минимум с ограничениями типа неравенств.

Рассмотрим задачу условной оптимизации с ограничениями типа неравенств

(1)

где - -вектор-функция. Допустим, что .

Определение. Ограничение активное на плане , называется жёстким (мягким), если .

Теорема. Пусть – локальный оптимальный план задачи (1), причем оыкновенная точка, - соответствующий ему вектор множителей Лагранжа. Тогда на множестве векторов , удовлетворяющих системе неотрицательна квадратичная форма .