2. Классификация задач оптимизации. Примеры.

1. Полная классификация задач оптимизации

1. Задачи математического программирования (конечномерные задачи).

1. Линейное программирование (f(x) – линейная, X – система линейных равенств или неравенств).

2. Задачи нелинейного программирования.

- безусловной оптимизации;

- условной оптимизации с ограничениями типа равенств;

- условной оптимизации смешанного типа;

- условной оптимизации с ограничениями типа неравенств;

- выпуклое программирование (f(x) – выпуклая, X – выпуклое множество);

- квадратичное программирование (f(x) – квадратичная ф-ция, X – система лин. уравнений или неравенств).

c) целочисленное программирование (на вектор x накладывается условие целочисленности).

d) многоэкстремальные задачи (f(x) – m-вектор ф-ция, X – n- вектор).

2. Вариационное исчисление .

– бесконечномерная задача.

3. Задачи оптимального управления

4. Задача безусловной оптимизации (збуо). Необходимые условия оптимальности.

Постановка задачи: , (1)

Опр. Говорят, что , если -непрерывна вместе со всеми производными до к-того порядка включительно.

Теорема (необх. условия лок. опт-ти 1-го порядка).

Пусть функция f дифференцируема в в точке Если точка лок. минимума задачи (1), то выполн. условие стационарности:

(2)

-стационарная точка, если для нее выполн. (2).

.

Док-во. и числа верно разложение ф-ции f в ряд Тейлора:

дост. малое.

- точка лок. минимума, зн. . Поэтому . Разделим нер-во (3) на ,

Используя при получаем . (4) должно выполн-ся для , в том числе и при . Из (4) получаем

Поэтому,

Теорема (необх. условия опт-ти 2-го порядка).

Пусть f Если - точка лок. минимума задачи (1), то

Док-во. , имеет место разложение в ряд Тейлора

Делим нер-во на , ,

6. Задача условной оптимизации с ограничениями типа равенств. Метод исключения.

ЗУО с ограничениями типа равенств имеет вид:

(1)

- m вектор-функция,

, i=1, …,m. Простейшим методом решения задачи (1) явл. метод исключения.

Опр. Точку наз. точкой условного глобального минимума, если

Опр. Точку наз. точкой условного локального минимума, если

. Применяется, когда кол-во ограничений меньше кол-ва переменных, т.е. m < n, и вид ограничений достаточно простой. В этом случае из m ограничений можно выразить m переменных.

Допустим, что это переменные , , т.е.

…,

(2)

Подставим в эти формулы целевую ф-цию (1). Получим:

Решая задачу безусловной оптимизации (3) по ур-ниям связкам восстанавливаем переменные .