Тема 4. Сочлененные системы

Сочленённой называется система нескольких тел, соединённых друг с другом при помощи внутренних связей: простого оперения, стержней или нитей (цепей), шарниров.

Пример 4.1 Балки АВ и ВД связаны друг с другом при помощи внутреннего шарнира В. Размеры, и расположение нагрузок показаны на рис.24.

Определить реакции шарниров А и Д.

Рассмотрим равновесие каждой балки АВ и ВД. Для этого изобразим балки АВ и ВД раздельно. На рис., б изображена балка АВ нагруженная равномерно распределённая нагрузка g=10kH, составляющей реакцией шарнира А (R_A), и реакцией опоры в точке В (R_АВ). На рис.4.1 в изображена балка ВД нагружена сосредоточенной силой F=10кН в точке С составляющей реакцией шарнира Д (R_Д), и реакцией опоры в точке В (R_ВД).

Рассмотрим равновесие балки АВ. Условие равновесия плоской системы сил:

∑ R_Х=0, ∑R_У=0. ∑М_А=0. ∑М_В.

Рис.4.1

Определяем реакции опор шарниров А и В.

М_В= F_g·a/2- R_A·a =g·a²/2-R_A·a=10·0,5-1·R_A=0.

R_A=5 kH.

М_А=R_АВ∙а- F_g·a/2= 1∙R_АВ-10∙0,5=0.

R_АВ=5 кН.

Рассмотрим равновесие балки ВД.

Определяем реакцию опоры шарнира В и Д.

М_В= -F∙c+R_Д∙в=-10∙0,75+1,5∙

R_Д= =-7,5+R_A=0.

R_Д=R_BД=5 kH.

М_Д= F∙c-R_ВД∙в=10∙0,75-1,5∙ R_ВД =0.

R_ВД=5 кН.

Определяем суммарную реакцию шарнира В.

R_B=R_AB+R_ВД=5+5=10 кН.

Проверка: R_A +R_B +R_Д-g∙a-F=5+10+5-10-10=0.

Пример 4.2. Определить силу натяжения троса удерживающего в равновесии шар весом G=100H, а также силу давления шара на наклонную поверхность. Задачу решить графическим и аналитическим методами.

Графический метод (рис.4.2)

Строим силовой многоугольник.

Принимаем масштаб:

В произвольной точке О откладываем отрезок

Из точки О проводим прямую параллельно в масштабе вектор G, и прямую

параллельно ВС. Из конца вектора G проводим параллельно прямую АО.

Получили силовой треугольник. Производим замеры.

Натяжение в тросе ВС, FBC=µ×l_ВС=2×42=84Н.

Сила давления шара на наклонную поверхность F_OA=µ×l_OA=2×25=50Н.

Аналитический метод,

R_Y=-F_OAY-F_BCY-G=-=F_OAsin30⁰-F_BCsin60⁰-G=0.

Рис.4.2

Решаем уравнения.

-F_OA=

Тема 5. Определение усилий в элементах кронштейна

Пример 5.1. К шарниру C перекинутый через блок прикреплён трос (рис.5.1), несущий груз G = 100 H. Положение стержней кронштейна и груза определены углами α = 30⁰, δ = 40⁰ и β = 30⁰. Силой трения и скольжения в блоке пренебречь.

Определить усилия в стержнях АC и ВС графическим и графоаналитическим способами.

1. Определение усилий в стержнях кронштейна графическим способом

Рассмотрим равновесие узла С.

Из четырёх сил, действующих на этот узел, нам известны натяжение вертикальной ветви троса, равное весу G и направленное вниз, и натяжение F наклонной ветви троса, которое из-за отсутствия трения на блоке равно по абсолютной величине напряжению вертикальной ветви.

Принимаем масштаб: 100кН в l=50 мм;

Построение силового многоугольника (Рис.5.1,б).

Так как узел С под действием сил F и G и усилий в стержнях АС и ВС находится в равновесии, то силовой многоугольник должен быть замкнутым. Следовательно, все стрелки в нём должны идти в одну сторону по обходу многоугольника, причём направление этого обхода определяется направлением известных сил F и G.

Мысленно, перенеся, направления найденных усилий на соответствующие стержни схемы конструкции, делаем вывод усилие в стержне ВС направлено к узлу С – стержень сжимается, стержень АС направлен от узла С – стержень растягивается.

Стороны этого многоугольника дают величины и направления усилий

Усилия в стержнях АС и ВС:

F_AC= μ ∙ S₁ = 2∙43 = 86 кН. F_BC= μ ∙ S₂ = 2∙73 = 146 kH.

R = μ ∙ S₃ = 2 ∙ 96 = 192 kH.