Тема 8. Приведение силы к данной точке

Силу можно переносить в любую точку, лежащую на линии её действия. Изменится ли действие силы на тело, если перенести её в точку, не лежащую на линии её действия.

Для приведения плоской произвольной системы сил, как угодно расположенных на плоскости, к одному центру используем теорему Пуансона.

Силу, приложенную к абсолютно твёрдому телу, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей собой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Д ля доказательства данной теоремы рассмотрим тело, на которое действует сила F приложенная в точке С (рис.8.1). Перенесём эту силу параллельно самой себе в точку О. Приложим, в этой точке две силы , направленные в противоположные стороны, равные по абсолютной величине силе F и параллельно ей. От приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так как они взаимно уравновешиваются. Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы F', приложенной в точке О, и пары сил

Рис.8.1

c моментом М = Fd. Эту пару сил называют присоединительной, а её плечо d равно плечу силы F (Рис.8.1) относительно точки О.

Таким образом, при приведении силы к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и сила , и присоединённой пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки (центра) приведения: М_О = Fd.

Пример 8.1. Колесо А с радиусом R, вращающиеся на оси в подшипниках. По ободу колеса приложена сила F. Приложим, в этой точке две силы , направленные в противоположные стороны, равные по абсолютной величине силе F и параллельно ей.

О т приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так как они взаимно уравновешиваются. Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы F” создающую давление на подшипник, приложенной в точке О, и пары сил c моментом М = FR.

Рис.8.2

Тема 9. Теорема Вариньона для системы сходящихся сил

(теорема о моменте равнодействующей)

М омент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Удобство применения теоремы Вариньона заключается в том, что, минуя непосредственное определение равнодействующей, можно вычислить её момент относительно точки, зная моменты всех сил относительно той же точки.

Рис.9.1

Выражение момента М_R относительно точки А (рис.9.1) через проекции силы на оси координат имеет вид:

М_R = F_1Y · (x - a) – F_2X · (y –b),

где F_X и F_Y – проекции сил на оси координат, х и у – координаты точки В приложения сил, а и b.

М_R = F_1Y · (x - a) – F_2X · (y –b) = 25·(35 – 30) - 35·(28 – -12) = 125–560 = - 435 Нм.

Момент равнодействующей направлен по часовой стрелке.

Тема 10. Главный вектор. Главный момент

Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к данной точке.

В реальных условиях к телу могут быть приложены силы, линии, действия которых не пересекаются в одной точке и не параллельны между собой. Исследование такой системы сил начинают с приведения сил к точке, лежащей в той же плоскости.

В предыдущем параграфе было доказано, что несколько сил, как угодно расположенных на плоскости, можно привести к одной силе, которая приложена к центру приведения и паре.

Допустим, что в точках тела А, В, С и Д (рис.10.1) приложены , приведём эти силы в точку О плоскости. Приведём сначала силу , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы равны по величине силе заданной силе , параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы получим силу , приложенную в точке О, и пару сил с плечом d₁. Поступив таким же образом с силой , приложенную в точке О, и пару сил с плечом d₂ и т.д.

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой , равной геометрической сумме составляющих:

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют, главным вектором системы сил и обозначают . На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения.

Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента).

Таким образом, всякая плоская система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, при приведении к произвольному взятому центру О заменяется одной силой , равной главном вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной паре с моментом М_О, равным главному моменту системы относительно центра О (рис.10.1, б). Очевидно, что две системы сил, имеющих одинаковые главные векторы и главные моменты, статически эквивалентны, и для задания плоской системы сил достаточно задать её главный вектор и главный момент М_ГЛ относительно некоторого центра.

Следует отметить, что сила заменяет данную систему сил не одна, а вместе с парой силой, поэтому её нельзя считать равнодействующей. Величина может найдена или геометрически построением силового многоугольника(рис.10.1, в), или аналитически по формулам:

Р ис.10.1

От выбора центра О величина не зависит. Значение М определяется положением центра О, поэтому необходимо обязательно указывать, относительно какого центра вычислен главный момент.

Для равновесия системы сил, как угодно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно произвольно выбранного центра приведения этой системы равнялись нулю.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:

1. общий случай; система приводиться к главному вектору и главному моменту.

2. система приводиться к одной равнодействующей, главному вектору системы.

3. система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.

4. система находиться в равновесии, т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы её главный вектор и главный момент одновременно были равно нулю.