Відношення порядку на множині додатних раціональних чисел. Віднімання

Виходячи з тлумачення дробу як довжини відрізка, природно вва­жати, що з двох дробів з однаковими знаменниками менший той, в яко­го чисельник менше:

< <

Якщо ж задано два дроби і з різними знаменниками, то, звівши їх до спільного знаменника, дістанемо

Тому природно вважати, що

< pk < nq

Розглянемо одну властивість відношення «менше» на множині дробів, а саме, що справджується

твердження: нерівність < не порушується при заміні дробів і будь-якими іншими, що дорівнюють їм.

Справді, якщо i , то за означенням 11

рn₁ = пp₁ і qk₁ = kq₁. Отже,

(pn₁)(kq₁) = (np₁)(qk₁),

або

(pk)(n₁q₁) = (nq)(p₁k₁).

Оскільки рк<.пq, то, згідно з останньою рівністю, n₁q₁ > > p₁k₁. Тому < , що й треба було показати.

Доведена властивість відношення «менше» на множині дробів дає змогу ввести відношення «менше» на множині О₊.

Означення 14. Нехай а, b Є Q₊ , дроби, що зображують ці числа. Говорять, що а < b, або b > а, якщо < тобто рk < пq.

Теорема 17. Для довільних а, b Є Q₊ виконується одне і тіль­ки одне з трьох співвідношень:

а = b, а < b, b < а.

Доведення. Нехай додатні раціональні числа а і b зобра­жуються відповідно дробами і Розглянемо натуральні числа рk і пq. Тоді виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень: рk = nq, рk < пq, пq < рk. Залишилось скористатися означеннями 11 і 14.

Теорему доведено.

Розглянемо ще деякі властивості відношення «менше» на множині Q₊, які аналогічні властивостям такого ж відношення на множині N.

Теорема 18 (транзитивність)

< < < , a, b, c Є Q₊ .

Доведення. Нехай додатні раціональні числа а, b і с зобра­жуються відповідно дробами , і . Оскільки а < b і b < с, то рk < пq і qт < kr. Звідси рkqт < пqkr. Тому рт < nr, тобто a < с.

Теорему доведено.

Теорема 19 (асиметричність)

< < a, b Є Q₊.

Доведення. Нехай додатні раціональні числа а і b зобра­жуються відповідно дробами і . Якщо а<b, то рk< пq.

З відси пq < рk, а це означає b < а.

Теорему доведено.

Теорема 20. Система (Q₊, <) є лінійно впорядкована мно­жина.

Відношення «менше» на множині Q₊ має ще дві властивості, відмінні від властивостей такого ж відношення на множині N. Нагадає­мо, що у множині N найменшим числом є 1 і ця множина дискретна.

Теорема 21. У множині (Q₊, <) найменшого числа немає.

Доведення. Припустимо, що найменше додатне раціональне

число існує. Позначимо це число через а і нехай дріб — його

зображення. Дріб менше від дробу , оскільки рп < p(n +1). Тому додатне раціональне число b, що зображується дробом , менше за число а. Отже, зроблене припущення — непра­вильне.

Теорему доведено.

Означення 15. Упорядковану множину називають щільною, якщо між будь-якими двома різними її елементами міститься безліч елемен­тів цієї множини.

Теорема 22. Множина (Q+, <) — щільна.

Доведення. Нехай а, b Є Q₊, а ≠ b. Тоді, як відомо, для а і b виконується одне і тільки одне з двох співвідношень: а<b, b<а.Нехай, наприклад, а < b і нехай числа а і b зображуються відповідно дробами і . Тоді < p < q. Тому 2p < p + q < 2q

і маємо: < < Якщо додатне раціональне

число, що зображується дробом позначити через с, то з

останніх нерівностей маємо а < с < b. Міркуючи так само, знайдемо додатне раціональне число с₁, що міститься між а і с, число с₂, що міс­титься між а і с₁, і т. д. Отже, знайдемо безліч чисел, що містяться між а і b.

Теорему доведено.

Теорема 23. Не існує найменшого додатного раціонального числа, тобто

а, b Є Q₊.

Доведення. Нехай а Є Q₊. Якщо а зображується дробом ,

то число b, що зображується дробом задовольняє умову

Ь>а.

Теорему доведено.

Теорема 24 (монотонність)

a, b, c Є Q₊

Доведення. Нехай додатні раціональні числа а, b і с зобра-

жуються відповідно дробами , і . Тоді

a < b p < q p + k < q + k a + c < b + c.

Теорему доведено.

Розглянемо тепер віднімання додатних раціональних чисел. Операція віднімання вводиться як обернена до операції додавання.

Означення 16. Різницею додатних раціональних чисел а і b нази­вають таке додатне раціональне число с = а — b, що с + b = а.Число а називають зменшуваним, b — від'ємником, а операцію знаходження різниці —відніманням.

Теорема 25. Нехай а, b Є Q₊; різниця а — b існує тоді і тільки тоді, коли а> b. Якщо різниця існує, то вона єдина.

Доведення. Необхідність: ( с) (с = а — b) а > Ь.

Справді, нехай а, b Є О₊ і існує різниця с = а — Ь, тобто існує додатне раціональне число с, таке що а = с + Ь, і нехай числа а,

b і с зображуються відповідно дробами , i . Тоді

а оскільки за монотонністю додавання у множині N r + q > q, то p > q, і тому а> b.

Достатність: а > b ( с) (с = а — b).

Справді, нехай додатні раціональні числа а і b зображуються

відповідно дробами i . Оскільки а>b, то р>q, тому існує

різниця р — q Є N. Для дробу маємо . То­му, якщо позначити через с додатне раціональне число, що зображується дробом то c + b = a, тобто с = а — b.

Єдиність. Припустимо, що існують дві різниці додатних раціо­нальних чисел а і b:

c₁ = a – b, c₂ = a – b, c₁, c₂ Є Q₊

Тоді за означенням різниці додатних раціональних чисел маємо:

c₁ + b + a, c₂ + b = a.

Тому c₁ + b = с₂ + b. Звідси випливає, що с₁ = с₂, бо якби було c₁ ≠ c₂, то за монотонністю додавання дістали б с₁ + b ≠ с₂ + b.

Теорему доведено.

Отже, c₁ = с₂. У процесі доведення теореми 25 дістали формулу

де p > q.