Розширення поняття про число

МОДУЛЬ ХІІІ. Цілі числа

Задача розширення поняття про число

У цьому розділі на основі множини N натуральних чисел шляхом послідовних розширень будуть побудовані такі числові множини: множина цілих чисел, множина раціональних чисел, множина дійсних чисел.

Необхідність розширення множин чисел обумовлено як теорією, так і практикою.

Розширення множини N до множини Z здійснюють, зокрема, для того, щоб можна було охарактеризувати будь-яку зміну чисельності, користуючись лише одними числами. Необхідність більш точного ви­мірювання величини (порівняно з вимірюваннями, що базуються на натуральних числах) привела до поняття дробового числа, на основі якого будується множина Q, яка є розширенням множини Z Проте для розв'язування інших задач раціональних 'чисел не досить. їх недостатньо, зокрема, для вимірювання довжин довільних відрізків. Розв'язування цієї проблеми привело до розширення множини Q, яким стала множина R.

При розширенні певної числової множини до деякої іншої задоволь­няються не тільки цільові вимоги, а й те, щоб відношення й операції, які виконувалися на розширюваній множині, виконувалися й на роз­ширеній множині, причому їхній зміст для елементів з розширеної множини, які є одночасно елементами розширюваної множини, по­винен збігатися із тим самим змістом, який ці відношення і операції мали на розширюваній множині.

Необхідність розширення множини натуральних чисел

У кількісній теорії невід'ємних цілих чисел натуральні числа вво­дяться як характеристики чисельності (потужності) класів еквіва­лентних скінченних множин. Проте натуральні числа можуть бути й .ха­рактеристикою збільшення чисельності.

Нехай А і В — дві скінченні множини. Заміну множини А множиною В називають переходом від множини А до множини В або про­сто переходом А→В (вираз А→В читають: «від А до В»).

Перехід А → В, для якого п (А) < п (В) (тут і далі п (А) і п (В) — чисельності відповідно множин А і В), дає збільшення чисельності, яке кількісно характеризується натуральним числом п (В) — п {А).

Число 0 можна розглядати не тільки як характеристику порожньої множини, а й як характеристику відсутності зміни чисельності для переходу А → В, тут п (А) — п (В).

Перехід А → В, для якого п (А) > п (В), дає зменшення чисель­ності. При цьому виникає питання про його кількісну характеристику. Натуральне число п {А) — п (В) є характеристикою зміни чисельності, якщо вказано, що відбулося зменшення, а не збільшення.

Назвемо збільшення і зменшення чисельності терміном зміна чисельності. Будь-який перехід А → В, для якого п (А) ≠ п (В), дає зміну чисельності. Зрозуміло, що одних натуральних чисел для кількісної характеристики цих змін недостатньо, щоразу треба ще додатково обумовлювати напрямок зміни чисельності. Така додаткова вказівка стане зайвою, якщо поряд з натуральними числами, що вира­жають збільшення чисельності, ввести нові числа, які виражатимуть вменшення чисельності.

Таким чином, виникає необхідність розширення множини N на­туральних чисел.