Додатні раціональні числа

Неважко показати, що відношення рівності дробів, яке вводено в попередньому пункті, є рефлексивним, симетричним і транзитивним, тобто воно є відношенням екві­валентності. Тому дане відношення розбиває множину дробів на класи еквівалентності: дроби, що належать до одного класу, дорівнюють один одному; дроби, що належать до різних класів, не дорівнюють один одному.

Означення 12. Кожен з класів еквівалентності, на які відношення рівності дробів розбиває множину дробів, називають додатним ра­ціональним числом. Множину додатних раціональних чисел позна­чають Q+.

Нехай а € Q₊, тобто а — деякий клас рівних дробів. Кожний з цих дробів називають представником чи записом цього класу, або дробом, що зображує додатне раціональне число а чи є його зображенням.

Теорема 14. Для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескоротний дріб, що зображує це число.

Нехай a Є Q₊ i – деякий представник класу а. Покладемо d = Д(p, n), тоді p = p₁d, n = n₁d, а тому , причому дріб – нескоротний. Отже, нескоротний дріб, що зображує число а, існує.

Додавання додатних раціональних чисел

Перш ніж дати означення суми додатних раціональних чисел, доведемо таке

Твердження: будь-яку скінченну кількість додатних ра¬ціональних чисел можна зобразити дробами зі спільним знаменником.

Справедливість твердження випливає з можливості зведення дро­бів до спільного знаменника.

Означення 13. Нехай а, b Є Q₊ і нехай ці числа зображуються дро­бами і . Сумою а + b називається додатне раціональне число, що зображується дробом . Числа а і b називають доданками, а опе­рацію знаходження суми — додаванням.

Теорема 15. Для будь-яких додатних раціональних чисел а і Ь їхня сума а + b існує і при тому єдина.

Доведення. Справедливість першої частини теореми випливає з означення суми. Доведемо другу частину теореми. Треба показати, що сума а + b не залежить від вибору дробів i , які зображують числа а і b, тобто

Спавді, якщо i то за означенням

pn₁ = np₁ i qn₁ = nq₁.

Тоді

pn_{1 +} qn₁ = np₁ + nq₁,

тобто

(p + q)n₁ = n(p₁ + q₁),

і, отже,

звідки

Теорему доведено.

Зазначимо, що коли натуральні числа розглядати як елементи множини Q₊, то додавання їх за означенням 13 зводиться до звичай­ного додавання натуральних чисел.

Теорема 16. Операція додавання додатних раціональних чисел має властивості:

комутативності

(а+b = b + а),

асоціативності

((а + b)+с = а + (b+с))

Розрізняють правильні й неправильні дроби.

Дріб називають правильним, якщо p < n, і неправильним – якщо p ≥ n.

Нехай — неправильний дріб. Тоді р ≥ п. Якщо число р кратне числу п, то дріб — є записом натурального числа. Наприклад, якщо дано дріб то Якщо число р не кратне числу п,

то, згідно з теоремою 4, розд. З, існує єдина пара натуральних чисел q і r, для якої р = nq + r, де r < q. Тоді за означенням суми дробів маємо

тобто

Де q – натуральне число, а — правильний дріб. Число q нази­вають цілою частиною дробу . Таким чином, будь-який непра­вильний дріб, в якому чисельник не кратний знаменнику, можна зо­бразити єдиним способом у вигляді суми його цілої частини та правиль­ного дробу з тим самим знаменником, що й даний неправильний дріб. Цю операцію називають виділенням цілої частини з неправильного дробу. Для правої частини останньої рівності за означенням покладають