Множення й ділення цілих чисел

Означення 8. Добутком цілих чисел а і b називають ціле число с = а • b, або с = аb, що задовольняє такі умови:

1. a 0 = 0 при b= 0,

2. а • 1= а при b=1,

3. а b = а + а + ... + а при b > 1,

b доданків

4) аb = —а і b | при b < 0.

Числа а і b називають множниками, а операцію знаходження до­бутку — множенням.

Залежно від значень множників a i b можуть бути такі окремі випадку застосування цбого означення:

І. а > 0, b > 0. V. а = 0, b ≠ 0

ІІ. а < 0, b < 0 VI. а ≠ 0, b = 0

ІІІ. а > 0, b < 0. VII. а = 0, b = 0

ІV. а < 0, b >0.

З огляду цих вказаних випадків дістаємо правила множення цілих чисел.

При множенні двох цілих чисел дістають ціле число, модуль якого дорівнює добутку модулів множників; це число додатне, якщо множни­ки мають однакові знаки, і від'ємне — у противному разі. Добуток дорівнює нулю тоді ітільки тоді, коли принаймні один з множників дорівнює нулю.

Теорема 9. Для будь-яких цілих чисел a i b існує добуток ab і при тому єдиний.

Можна довести, що операція множення цілих чисел має властивості:

Комутативності: (ab=ba), a,b Є Z

Асоціативності: ((ab)c = a(bc)), a,b, c Є Z

Дистрибутивності відносно додавання:

((a + b)c = ac + bc), a, b, c Є Z

Аналогічні введенню віднімання цілих чисел як операції, оберненої до додавання, ділення цілих чисел водиться як операції, обернена до множення.

Означення 9.Часткою цілих чисел a i b називають таке ціле число c = a:b, що cb=a. Число a називають діленим, b – дільником, а операцію знаходження частки – діленням.

Якщо а = 0, то для довільного цілого числа b≠0 частка існує і 0:b=0, що випливає з рівності 0 • b = 0.

Якщо а=0, b=0, то, оскільки ( c Є Z виразу 0:0 можна надати будь-якого значення. Тому вираз 0:0 не має смислу.

Якщо ціле число а≠0, b=0, то ні для жодного с Є Z не може виконуватись рівність с • 0 = а, тому частка а : 0 не існує. Отже ділення на нуль неможливе.

Теорема 10. Частка цілих чисел a i b, де b≠0, існує тоді і тільки тоді, коли а = с b, де с Є Z.

Доведення. Якщо існує таке ціле число с, що а = сb , то с є часткою а:b. Якщо ж число а не міститься серед чисел виду сb, де c Є Z, то припущення існування частки а : b = с призводить до суперечності: а = сb, де с – деяке ціле число.

Теорему доведено.

Раціональні числа Поняття дробу. Рівність дробів

Виникнення дробів було обумовлено вимірюванням величин. Покажемо необхідність виникнення дробів при вимірюванні, наприклад, довжини відрізка.

Нехай дані одиничний відрізок е і а. Якщо існує натуральне число q таке, що а =qе, то m(a) = q (m(a)– довжина відрізка а при одиничному відрізку е).

Відрізок а довший ніж 4е, але коротший ніж 5е. Тому його довжину при одиничному відрізку е не можна виразити натуральним числом.

Означення 10. Нехай дано одиничний відрізок е і відрізок а,

причому е = nе1, n Є N, то вважають, що m(a) =

де т(а) — довжина відрізка а. Символ , в

якому ріп — натуральні числа, називають дробом з чисельником р і зна­менником п. У цьому випадку пишуть також а = e і говорять, що відрізок а сумірний з e.

При умовах цього означення очевидним є таке твердження:

т (а) = na = pe

Теорема 11. Довжина одного й того самого відрізка при зада­ному одиничному відрізку може виражатися різними дробами.

Доведення. Нехай а — деякий відрізок, для якого т (а) =

при заданому одиничному відрізку e. Тоді па = ре і для довільного натурального числа ℓ маємо (пℓ) а = (рℓ) e. Ця рівність означає, що m(a) = i інший дріб, що виражає довжину відрізка а.

Теорему доведено.

З викладеного вище випливає, що довжина будь-якого відрізка, сумірного з одиничним відрізком, виражається певним дробом. Чи кожний дріб є довжиною певного відрізка? Відповідь на це запитання дає таке

Твердження: для будь-якого дробу існує відрізок, довжина якого виражається цим дробом.

Теорема 12. Для того щоб дроби і виражали довжи-

ну одного й того самого відрізка, необхідно й достатньо, щоб викону­валася рівність рk = пq.

Означення 11. Дроби і називають рівними якщо рк = пq.

На основі сказаного вище виконується таке

твердження: два дроби рівні тоді і тільки тоді, коли вони виражають довжину одного й того самого відрізка.

Теорема 13 (основна властивість дробу). Якщо чисельник і зна­менник дробу помножити на довільне натуральне число або розділити на довільний їхній спільний дільник, то дістанемо дріб, що дорівнює даному.

На цій властивості грунтується скорочення дробів і зведення дробів до спільного знаменника.

Скорочення дробів — це заміна даного дробу іншим, що дорівнює даному, але з меншими чисельником і знаменником.

Якщо треба дістати дріб, що дорівнює даному з якомога меншими чисельником і знаменником, то, очевидно, треба поділити чисельник і знаменник на їхній НСД.

Дріб, у якого чисельник і внаменник взаємно прості, називають

нескоротним.

Зведення дробу до спільного знаменника – це заміна даних дробів дробами, що дорівнюють їм, і мають однакові знаменники. Нехай задано дроби Позначимо через n – довільне спільне кратне знаменників n₁, n₂, …, n_k. Тоді n = n₁t₁ = n₁t₁ = n₂t₂ = … = n_kt_k. Помноживши чисельники і знаменники даних дробів відповідно на t₁, t₂, …, t_k, дістанемо

,

Тобто дані дроби замінили дробами, кожний з яких має знаменником число n. Це число називають спільним знаменником даних дробів. Часто намагаються дістати найменший спільний знаменник, ним, очевидно, буде НСК знаменників даних дробів.