Властивості множини цілих чисел

Розглянемо спочатку деякі властивості побудованої вище мно­жини М.

Можна довести такі твердження:

1. Для довільних цілочисельних точок К і L виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень: точки К і b збігаються; точка К лежить зліва від точки L; точка L лежить зліва від точки К.

2. Відношення «лежить зліва від» на множині М є транзитивним і aсиметричним. Відношення «лежить зліва від» позначається симво­ лом -<.

Теорема 1, Система (М, –<) є лінійно упорядкованою множи­ ною.

Теорема 2. Множина М еквівалентна множині Z

Однією з властивостей множини N є її впорядкованість. Покажемо, що таку саму властивість має і множина Z.

Означення 4. ..Говорять, ,що ціле число к дорівнює цілому числу ℓ, і записують к =ℓ, якщо к і ℓ — позначення одного і того самого ці­ лого числа.

Таким чином, умова к=ℓ, Де к, ℓ Є Z, рівносильна тому, що точки К і L, які є зображеннями; на числовій прямій відповідно чисел к і ℓ, збігаються.

Означення 5, Нехай к і ℓ — два різні цілі числа, а відповідно точки К і L — їх зображення на числовій прямій. Говорять, що число к менше від числа ℓ, або число ℓ більше за число к, і записують відповід­но к < ℓ, або ℓ> к, якщо точка К лежить зліва від точки L.

Те о р е м а 3. Для довільних цілих чисел к і l виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень: к =ℓ, к <ℓ x, ℓ < к.

Теорема 4. (транзитивність) < l l < q), k, l, q Є Z.

Доведення. За означенням 5 k < l ↔ K L i l < q ↔ L Q, де К, L, Q – точки, які є зображенням на числовій прямій відповідно чисел k, l, i q. Тому k < l l < q→K Q → k < q.

Теорема 5. (асиметричність)

< l l < k), k,l Є Z

Доведення. Нехай k < l . Припустимо, що l < k . Тоді за попередньою теоремою k < k . Зайшли у суперечність.

Теорема 6. Система (Z, <) – лінійновпорядкована множина.

Розглянуті вище властивості множини Z цілих цілих чисел дають змогу записати цю множину у вигляді "двостороннього ряду"

…, - n, …, - 2, -1, 0, 1, 2, …, n, …,

який показує, що множина Z не обмежена (як зверху, так і знизу) і дискретна.

Додавання й віднімання цілих чисел

Правила додавання можна сформу­лювати так.

При додаванні двох цілих чисел одного й того самого знака ді­стають ціле число, що має той самий знак і модуль якого дорівнює сумі модулів доданків.

При додаванні цілих чисел протилежних знаків дістають ціле число, знак якого збігається зі знаком доданка, що має більший модуль, а модуль його дорівнює різниці більшого і меншого модулів доданків.

Сума протилежних цілих чисел дорівнює нулю, а додавання з нулем не змінює цілого числа.

Теорема 7. Для будь-яких цілих чисел а і b існує їхня сума а + b і при тому єдина.

Нехай сума двох цілих чисел визначена і визначена сума n — 1 цілого числа а₁ + а₂ +... + а_п-1- Тоді сума n цілих чисел, тобто сума а_г + а₂ + ... + a_n-1 + а_п визначається рівністю

a₁ + a₂ +…+ a_n-1 + a_n = (a₁ + a₂ +…+ a_n-1) + a_n

Можна довести, що операція додавання цілих чисел має власти­вості:

комутативності ( а) ( b) (а + b = b + а), а, b Є Z;

асоціативності ( а) ( Ь) ( с) ((а + b) + с = а + (b + с)), а,b,сЄZ

Розглянемо операцію віднімання цілих чисел. Ця операція вво­диться як обернена до операції додавання.

Означення 7. Різницею цілих чисел а і b називають таке ціле число с = а — b, що с + b = а. Число а називають зменшуваним, b — від'ємником, а операцію знаходження різниці — відніманням.

У множині N різниця існує не завжди.

Т є о р е м а 8. Для будь-яких цілих чисел а і b їхня різниця а — b існує і єдина.

Доведення. Спочатку покажемо, що справедливе таке

допоміжне твердження: для будь-яких цілих чисел а і Ь виконується рівність а — b = а + (—b).

Справді, оскільки для кожного цілого числа b існує протилежне йому ціле число —b і b + (—b) = 0, то (а + (—b)) + b = а. Це оз­начає, що а — b = а + (—b).

Справедливість теореми випливає з теореми 7 і розглянутого допо­міжного твердження. Це твердження має й самостійне значення. Воно дає змогу операцію віднімання цілих чисел звести до операції дода­вання.

Наприклад, 5 — (—7) = 5 + 7=12.