23

Тема: розширення поняття числа задача розширення поняття числа

У практичній діяльності людина найчастіше використовує числа під час розв'язування задач про підрахунок кількості еле­ментів скінченної множини та вимірювання величин. Для розв'язування першої задачі достатньо натуральних чисел, чого не можна сказати про другу задачу. Міра вимірюваного об'єкта за дові­льно вибраного еталону не завжди може бути виражена натураль­ним числом. Отже, щоб задача вимірювання величин була розв'язною, одних тільки натуральних чисел недостатньо, потріб­не більш широке поняття числа. Крім того, для потреб самої ма­тематики необхідно також узагальнення, розширення поняття чи­сла. Зокрема, у множині натуральних чисел не завж ди існують результати операцій віднімання і ділення. Бажано мати числові множини, які б включали множину натуральних чисел, де б ці опера­ції були виконуваними.

Нехай А і В - довільні непорожні числові множини. Множина В називається розширенням множини А, якщо:

1. множина А є власною підмножиною множини В;

2. операції і відношення, які визначені у множині А, визначені також і у множині В, причому їх смисл для елементів множини А, що розглядаються як елементи множини В, має збігатися з тим, який вони мали у множині А;

3. у множині В мають виконуватися операції або мати місце властивості, які не завжди виконувались або мали місце у множині А.

Зауваження. Фактично у множині В міститься не сама множина А, а знайдеться власна підмножина, яка рівнопотужна множині А, причому бієктивне відображення між ними зберігає всі основні операції і відношення у них. Такі множини, як уже за­значалося, у математиці не розрізняють. Тому й кажуть, що мно­жина А є власною підмножиною множини В.

Якщо числова множина В є розширенням числової множини А, то числа, які розглядаються як елементи множини В, називаються узагальненням чисел, що розглядаються як елементи множини А, а сам процес побудови узагальнення - розширенням поняття числа. Виконання нових операцій або відношень у новопобудованій множині є основним для неї, власне саме для цього і будується розширення.

Процес розширення поняття числа пройшов довгий шлях історичного розвитку. Натуральне число як засіб лічби з'явилося на ранніх етапах розвитку людства. Першим розширенням було приєднання до множини натуральних чисел дробових чисел. Спочатку виникли зручні дроби вигляду , які називають аліквотними, або основними. Тільки пізніше і дуже повільно виникає уявлення про більш складні дроби як частку від ділення двох натуральних чисел одного на друге у випадку, коли ділене націло не ділиться на дільник. Збереглися єгипетські папіруси з часів 2000-1600 рр. до н. є. із записом арифметичних операцій над дробами. Стародавні вавілоняни залишили після себе пам'ятки, які містять обчислення з дробами. Запис дробів у індійців відрізняється від сучасного тільки відсутністю дробової риски. У стародавній Греції дроби широко використовувалися, починаючи з V ст. до н. є. Ними користувалися не тільки у задачах з обчислювальної геометрії, комерційної арифметики та алгебри, а й у теорії музики. Греки віль¬но виконували всі арифметичні операції над дробами, хоча за числа їх не вважали.

До ХV-ХVІ ст. вчення про дроби набуває, по-суті, сучасного вигляду, але за формою воно було не досить виразним: про походження дробів тоді часто не говорили або говорили дуже мало. Чітке уявлення про дробові числа як про абстрактні числа виникло тільки у XVI ст.

Треба зазначити, що розділ арифметики про дроби довгий час був одним із найважчих. У німців збереглося прислів'я: "Потрапити у дроби", що означає - потрапити у безвихідне становище. Навіть найосвіченіші люди вважали операції з дробами дуже важкими, бо не було розроблено алгоритмів арифметичних операцій над дробами.

Отже, історично перше розширення поняття числа - приєднання до множини натуральних чисел дробових додатних чисел. Утворилася нова числова множина, яка називається множиною додатних раціональних чисел (позначається Q₊), в якій завжди виконуваною є операція ділення, і міра відрізка, сумірного з оди­ничним відрізком, є елементом цієї множини.

Два відрізки не завжди сумірні. Ще старогрецькі математики відкрили існування несумірних відрізків (наприклад, сторона квадра­та і його діагональ). Міра відрізка, несумірного з одиничним від­різком, не може бути виражена додатним раціональним числом. Отже, необхідність вимірювання відрізків потребує нового розши­рення числа, яке б дало змогу виражати міру відрізка, несумірного з одиничним. Виникає поняття додатного ірраціонального числа.

Індійці та араби першими почали розглядати ірраціональні числа як числа нового виду, поширюючи на них закони операцій над раціональними числами. У Західній Європі згадка про ірраціо­нальні числа зустрічається у книзі Леонарда Пізанського у XIII ст. Проте ці числа ввійшли в європейську математику лише у ХV-ХVII ст. з розвитком алгебри і тригонометрії.

Знайти прообрази додатних ірраціональних чисел поза геомет­ричними величинами математики ХV-ХVІ ст. не вміли, тому для них ірраціональні числа поза геометрією були символами, позбав­леними конкретного змісту.

Будь-яке додатне раціональне число може бути виражене як частка двох натуральних чисел. Але додатне ірраціональне число не можна подати скінченною комбінацією додатних раціональних чисел, пов'язаних чотирма арифметичними операціями. Ці факти знали математики ХV-ХVІ ст. і майже завжди використовували як аргумент "неповноцінності" ірраціональних чисел. Але оскіль­ки багато задач приводили до появи ірраціональних чисел, їх все одно потрібно було розглядати.

Отже, другим розширенням поняття числа була множина, яка складалася з усіх додатних раціональних чисел та усіх додатних ірраціональних чисел, що називається множиною додатних дійс­них чисел (позначається Я+), в якій будь-який відрізок має міру при довільному одиничному відрізку.

Додатних дійсних чисел достатньо для вимірювання величин. Але їх недостатньо, щоб характеризувати зміну величини. Крім того, у множині додатних дійсних чисел не завжди виконується операція віднімання, тобто рівняння b + х = а не завжди має розв'я­зок. Потреби практики і математики зумовили нове розширення поняття числа, що пов'язується з уведенням від ємних чисел.

Вперше поняття про додатні та від'ємні дійсні числа зустрі­чаються понад 2000 р. тому в Китаї у книзі "Математика у дев'яти книгах", де додатні числа трактують як майно, а від'ємні - як борг.

У VI—VII ст. н. є. індійські вчені вже систематично користу­валися від'ємними числами під час розв'язування рівнянь, причо­му віднімання замінювалося додаванням. Проте, запровадивши від'ємні числа, індійські вчені вважали їх нерівноправними з додат­ними числами.

У європейській математиці до ідеї від'ємного числа досить близько підійшов на початку XIII ст. Леонардо Пізанський, але ці числа почали широко використовувати з часів французького ма­тематика і філософа Р. Декарта (1596-1650). Створена ним і П. Ферма (1601-1665) аналітична геометрія дала можливість розг­лядати корені рівняння ƒ(x) = 0 як координати точок перетину кри­вої у =ƒ(x) з віссю абсцис. Це остаточно усунуло принципову відмінність між додатними і від'ємними числами, бо їх тлумачен­ня, по-суті, стало однаковим. Нуль перестав бути знаком нічого і почав розглядатися як число, рівноправне з іншими числами.

Множина, елементами якої є всі додатні дійсні числа, всі від'ємні дійсні числа і число нуль, називається множиною дійсних чисел, а її елементи - дійсними числами. У мно­жині дійсних чисел виконуваними є всі арифметичні операції, за винятком ділення на нуль, тобто ця множина є полем. Але рівняння х² + 1 = 0 не має розв'язків у множині дійсних чисел, тому що за означенням добутку дійсних чисел для довільних дійсного числа х Ф 0 і парного натурального числа п: хⁿ > 0.

Дальший етап розширення поняття числа пов'язаний із вве­денням уявної одиниці і як числа, квадрат якого дорівнює -1, тобто і² > -1. Числа вигляду а + bі, де а і b- довільні дійсні чи­сла, називають комплексними. При b = 0 дістаємо дійсні числа, тобто множина дійсних чисел є підмножиною множини комплек­сних чисел (позначається С).