Тема: нерівності зі змінними, їх сукупності та системи

1. Нерівності з однією змінною

Нехай на множині М задано два вирази з однією змінною х: f(x) і q(x). Предикати виду

f(x)<q(x), f(x)>q(x),

f(x)<q(x), f(x)>q(x),

для яких потрібно знайти їх області істинності, називаються нерівностями з однією змінною. Множина М називається областю визначення нерівності з однією змінною, а вирази f(x) і q(x) – її частинами, q(x) – правою, f(x) – лівою. Якщо для нерівності з однією змінною не вказано область визначення, то її потрібно встановити. Вона є перерізом областей визначення виразів f(x) і q(x).

Область істинності предиката, що задає нерівність, називається множиною розв’язків нерівності з однією змінною, а кожне число, яке належить множині розв’язків, – розв’язком нерівності. Розв’язати нерівність з однією змінною – це означає знайти її множину розв’язків.

Дві нерівності з однією змінною, визначені на множині М, називаються рівносильними на ній, якщо їх множини розв’язків збігаються. Якщо нерівності не мають розв’язків, то вони також рівносильні. З визначення випливає, що рівносильність нерівностей залежить від їх області визначення. Зміна її може привести до порушення рівносильності. Наприклад, нерівності

(х – 2)(х + 3) > 0 і х² – 4 > 0

рівносильні на множині додатних дійсних чисел і нерівносильні на множині дійсних чисел, бо на множині R+ їх множина розв’язків дорівнює ]2; + [, а на множині R перша нерівність має множиною розв’язків множину ]–; –3[  ]2; + [, а друга – ]– ; –2[  ] 2; + [.

Користуючись поняттями математичної логіки, можна дати означення рівносильності нерівностей з однією змінною по-іншому, як і у випадку рівнянь. Дві нерівності з однією змінною, визначені на множині М, називаються рівносильними на ній, якщо кожна з них є логічним наслідком другої.

Над нерівностями з однією змінною при їх розв’язуванні виконуються також перетворення, що базуються на застосуванні таких трьох теорем.

Теорема 1. Якщо до обох частин нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, додати вираз, визначений на цій же множині, то одержимо нерівність того ж смислу, рівносильну заданій на множині М.

Нехай

f(x) < q(x), х  М, (1)

– дана нерівність, (х) – вираз, який додаємо до обох частин нерівності (1). Тоді

f(x) + (x)<q(x) + (x), x  M, (2)

є одержаною нерівністю.

Нехай х₀ – довільний розв’язок нерівності (1). Підставивши х₀ у нерівність (1), одержимо істинну числову нерівність

f(x) < q(x) (3)

До обох частин істинної числової нерівності (3) додамо числовий вираз (х₀) , і на підставі властивості 3, §23 п. З, істинних числових нерівностей одержимо істинну числову нерівність

f(x₀) + (x₀)<q(x₀) + (x₀), (4)

яка означає, що х₀ є розв’язком нерівності (2).

Отже, довільний розв’язок нерівності з однією змінною (1) є розв’язком нерівності (2), тобто нерівність (2) є логічним наслідком нерівності (1).

Нехай тепер х₀ – довільний розв’язок нерівності (2), тоді

f(x₀) + (x₀)<q(x₀) + (x₀) (5)

є істинною числовою нерівністю. Віднявши від обох частин числової нерівності (5) числовий вираз (х₀), одержимо, на підставі властивості 3 § 23 п. З істинних числових нерівностей, істинну числову нерівність

f(x₀)<q(x₀),

яка означає, що х₀ є розв’язком нерівності (1). Отже, довільний розв’язок нерівності (2) є розв’язком нерівності (1), тобто нерівність (1) є логічним наслідком нерівності (2).

Таким чином, кожна з нерівностей з однією змінною є логічним наслідком другої, що й доводить їх рівносильність.

Наслідок 1. До обох частин нерівності з однією змінною можна додати (відняти) одне і те ж число і при цьому одержати рівносильну їй нерівність того ж смислу.

Наслідок 2. Члени нерівності з однією змінною можна переносити з однієї частини в другу з протилежним знаком, при цьому одержимо нерівність, рівносильну заданій того самого смислу.

Теорема 2. Якщо обидві частини нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, помножити на вираз, додатний для всіх чисел із множини М, то одержимо нерівність того ж смислу, рівносильну заданій на множині М.

Доведення теореми 2 аналогічне доведенню теореми 1, тільки при цьому використовується властивість 6, § 23 п. З істинних числових нерівностей.

Наслідок 3. Обидві частини нерівності з однією змінною можна помножити (поділити) на одне і те ж додатне число, при цьому одержимо нерівність того ж смислу, рівносильну заданій.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності з однією змінною, визначеної на множині М, помножити на вираз, від’ємний для всіх чисел із множини М, і знак нерівності змінити на обернений, то одержимо нерівність, рівносильну заданій на множині М.

Доведення теореми 3 аналогічне доведенню теорем 1 і 2, тільки при цьому використовується властивість 7 § 23 п. З істин-ниж числових нерівностей.

Наслідок 4. Обидві частини нерівності з однією змінною можна помножити (поділити) на одне і те ж від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на обернений, при цьому одержимо нерівність, рівносильну заданій.

Задача 1. Не розв’язуючи нерівностей

3х + 2 > 5 і 3х + 2 > 5+ ,

вказати, на яких множинах і на підставі яких тверджень вони рівносильні.

Нерівність 3х + 2 > 5 визначена на множині М₁ = ]– ; + [.

Нерівність 3х + 2 > 5 + визначена всюди, де х – 6  0, тобто коли х  6. Отже, областю її визначення є множина M₂ = ]– ; 6 [u ]6; + [. Оскільки М₂  M₁, то перша нерівність буде також визначена на множині М₂. Друга нерівність одержана з першої додаванням до обох її частин виразу , визначеного на множині М₂. За теоремою 1 про рівносильність нерівностей одержуємо, що дані нерівності будуть рівносильними на множині

М² =]– ; 6[  ]6; + [.