4. Вирази зі змінними (числові форми)

Як відомо, одна з відмінностей між математичною і природною мовами полягає у вживанні в математичній мові змінних. У природній мові деякі слова також можуть вживатися як змінні. Наприклад, у реченні "тигр має красиву ходу" слово "тигр" є змінною; у реченні ж "цей тигр має красиву ходу" слово "тигр" уже не є змінною. Між словами-змінними в природній мові і змінними в математиці існує істотна різниця: слово можна вживати як змінну для елементів тільки певної множини, а в математиці – для елементів будь-яких множин.

Широке застосування різного роду змінних дає змогу виразити математичною мовою загальні закономірності.

Під змінними розуміють знаки, що відіграють роль порожніх місць у математичному тексті, які дозволяється заповнювати іменами елементів із деяких множин, що становлять область значень цих змінних.

У початковому курсі математики, перш ніж вводити букви для позначення змінних, використовують "порожні місця", наприклад, 4 + ... = 9 (учням становлять запитання: яке число потрібно записати замість крапок, щоб одержати правильну рівність?), або місця, на які підставляється одне і те ж число, позначаються "порожніми віконечками" однакової форми, наприклад,

+ = + –

запис комутативного (переставного) закону додавання мовою з порожніми віконечками. Перехід від запису

+ = +

до запису х + у = у + х вже не становить труднощів і підказує роль букв-змінних х і у в останньому. Від запису х+у=у + х, де х і у – змінні для натуральних чисел, а "+" є знаком операції додавання, можна перейти до більш загального запису:

(1)

де х і у – змінні для елементів певної множини М, а * – змінна для операції у множині М. Запис (1) є символічним записом комутативного закону бінарної операції. Зокрема, якщо:

1. М – числова множина, то х і у будуть числовими змінними;

2. М – множина висловлень, то х і у – пропозиційні змінні.

Елементи, які можна підставляти замість змінної, називаються її значеннями, а всі вони становлять область визначення змінної. В усіх випадках, коли йдеться про змінну, область визначення змінної обов’язково вказується, або її легко встановити з контексту. Змінні, значеннями яких є числа, називаються числовими змінними.

Якщо в числовому виразі одне або кілька чисел замінити змінними, то одержимо вираз із змінними, або числову форму.

Кожна числова форма задає певне відображення. Наприклад, числова форма 3х + 2, де , визначає відображення множини А на множину значень числової форми f(А) = {5,8,11,14}

F : A  (A).

Зважаючи на те, що область визначення числової форми 3х + 2 є скінченною множиною, відображення можна задати і таблицею

А	1	2	3	4
(А)	5	8	11	14

Оскільки числова форма 3х + 2 задає відображення , її можна позначити (х) і записати (х) = 3х + 2.

Таким чином, символ (х) застосовується для позначення числової форми, що містить змінну х і задає відображення  певної множини А на множину (A). Записи (1), (2) і т. д. означають значення образів відповідно чисел 1, 2 і т. д. при відображенні.

Числова форма з двома змінними х і у, де х  А, у є В, також задає певне відображення , що ставить у відповідність кожній парі (х, у)  А х В певне число – значення числової форми  при даній парі значень змінних, і т.д. Отже, числові форми прийнято позначати (х), g(x,y), (x,y,z),  (х₁, х₂,..., х_n).

Підставивши в числову форму замість кожної змінної на всіх місцях її входження конкретні числа, одержимо числовий вираз, значення якого називається значенням числової форми на заданому наборі значень змінних. Тут і далі, говорячи про "змінну", мають на увазі "числову змінну".

Кожна числова форма характеризується кількістю числових змінних, що входять у неї, і областю визначення. Областю визначення числової форми (x_l, x₂, ..., x_n) (позначається D або D(x₁, x₂, ..., x_n)) називається множина тих наборів значень змінних, при яких числова форма має значення. Числова форма вважається заданою, якщо вказано її область визначення. Якщо ж область визначення числової форми не вказано, то її слід установити.

Числові вирази і числові форми часто називають виразами. Якщо вони містять лише арифметичні операції та операції піднесення до раціонального степеня, то їх прийнято називати алгебраїчними.

Алгебраїчний вираз називається раціональним, якщо він не містить операції добування коренів із виразів, що містять змінні. Раціональний вираз називається цілим раціональним виразом, або многочленом, якщо він не містить операції ділення на вирази, що містять змінні. Раціональний вираз називається дробовим, якщо він містить операції ділення на вирази, що містять змінні.

Задача 3. Встановити область визначення виразу

Даний вираз містить операцію ділення на вираз х² – 5х + 6, що містить змінну. Область визначення виразу (х) становлять ті дійсні числа, при яких вираз х² – 5х + 6 не дорівнює нулю. Такими числами є всі дійсні числа, крім х = 2 або х = 3. Отже, областю визначення виразу

буде множина

Відповідь: х  R \ {2; 3}, або

Два вирази зі спільною областю визначення називаються тотожно рівними на ній, якщо рівні їх значення при будь-яких значеннях змінних із області визначення. Тотожна рівність виразів істотно залежить від їх області визначення: зміна області визначення може привести до порушення тотожної рівності. Наприклад, вирази х і |х| є тотожно рівними на множині невід’ємних дійсних чисел і не є тотожно рівними на множині дійсних чисел, бо при х = –2 –2  2.

Можна, де це потрібно, вважати, що вирази містять однакову кількість змінних, бо при додаванні до виразу членів із коефіцієнтами, рівними нулю, одержуємо тотожно рівний йому вираз.

Відношення тотожної рівності виразів є відношенням еквівалентності на множині всіх виразів. Це дозволяє вирази з одного класу еквівалентності не відрізняти один від одного, якщо тільки не цікавляться їх структурою.

Два тотожно рівних на множині М вирази f(х₁, х₂, ..., х_n) і q(x₁, x₂, ..., x_n), з’єднані між собою знаком рівності, називаються тотожністю (позначається f(х₁, х₂, ..., х_n) = q(x₁, х₂,..., х_n)).

Прикладами тотожностей є формули скороченого множення; формули, що виражають закони арифметичних операцій тощо.

Заміна одного виразу тотожно рівним йому виразом називається тотожним перетворенням виразу. Тотожними перетвореннями виразів широко користуються, коли не цікавляться їх структурою, зокрема при:

1. спрощенні виразів;

2. наданні виразу спеціального вигляду;

3. розв’язуванні рівнянь і нерівностей;

4. доведенні тотожностей.