3. Перетворення над графіками функцій. Квадратична функція

Графіки функцій дають наочне уявлення про поведінку функції. Але спосіб побудови графіків по точках досить громіздкий. Здійснення деяких перетворень над уже відомими графіками функцій дає змогу одержати графіки нових функцій. До таких перетворень відносять зсув і стиск вздовж координатних осей.

Значення функції y=f(х) + а одержують зі значень функції у = f(x) при одних і тих же значеннях аргументу додаванням числа а. Графік функції у = f(x) + а отримують із графіка функції у = f(x) зсувом всіх точок уздовж осі Оу на а одиниць: вгору, якщо а > 0; вниз, якщо а < 0.

Значення функції у = f(x) при значенні аргументу х дорівнюють значенням функції у = f(x+a) при значенні аргументу х – а. Графік функції у = f(x+a) одержують з графіка функції у = f(x) зсувом всіх його точок вздовж осі Ох на а одиниць: вліво, якщо а > 0; вправо, якщо а < 0.

Відношення між точками координатної площини називається:

1. стиском площини до вісі Ох з коефіцієнтом а0, якщо кожній її точці М(х; у) відповідає точка М'(х;ау);

2. стиском площини до вісі Оу з коефіцієнтом b0, якщо кожній її точці М(х; у) відповідає точка М'(bх; у).

Значення функції у = af(х), а  0 отримують зі значень функції у = f(х) при одних і тих же значеннях аргументу множенням на число а. Графік функції у = af(x) одержують з графіка функції у = f(x) стиском його з коефіцієнтом а до вісі Ох.

Значення функції у = f(x) при значенні аргументу х дорівнюють значенням функції у = f(ax) при значенні аргументу . Графік функції у = f(ax) одержують з графіка функції у = f(x) стиском його з коефіцієнтом до вісі Оу.

Для прикладу розглянемо квадратичну функцію, яка задається формулою

у = ах² + bх + с, a, b, c, x  R, а  0.

Найпростішим випадком такої функції є функція у = х². Областю її визначення є множина дійсних чисел R, областю значення – числовий проміжок [0; + [, тобто функція обмежена знизу числом 0. Функція парна, бо (–х)² = х². Отже, графік функцїї симетричний щодо осі Оу. Лінія, яка є графіком квадратичної функції, називається квадратною параболою (рисунок 4). Точка (0; 0), в якій парабола перетинається з віссю симетрії, називається вершиною параболи.

Для побудови графіка функції у = ах² + bх + с перетворимо вираз ах² + bх + с :

Таким чином,

Отже, графік функції y = ах² + bх + с можна отримати з графіка функції у = х² за допомогою таких перетворень:

1. стиснути графік функції у = х² до вісі Ох з коефіцієнтом а, при цьому дістанемо графік функції у = ах²;

2. зсунути графік функції y = ах² спочатку вздовж осі Ох на – а потім отриманий графік – вздовж осі Оу на .

Одержана крива і буде графіком функції

а отже, і у = ах² + bх + с.

Вона також називається параболою, причому симетричною відносно прямої , яка паралельна осі Оу, а вершина параболи знаходиться в точці

Якщо а > 0, то вітки параболи спрямовані вгору, якщо а < 0 – вниз. З графіка видно, що функція у = ах² + bх + с обмежена знизу, якщо а > 0, і зверху, якщо а > 0, числом