2. Функції оберненої і прямої пропорційності. Лінійна функція

Пряма і обернена пропорційності належать до найпростіших функцій. До розгляду прямої пропорційності приводять задачі про залежність між двома додатними величинами, при якій із збільшенням (зменшенням) однієї з них у кілька разів друга також збільшується (зменшується) у стільки ж разів. А до розгляду оберненої пропорційності приводять задачі про залежність між двома

додатними величинами, при якій із збільшенням (зменшенням) однієї з них у кілька разів друга зменшується (збільшується) у стільки ж разів. Залежність між периметром квадрата і довжиною його сторони є прикладом прямої пропорційної залежності, бо із збільшенням (зменшенням) одного з них у кілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друге з них. Залежність же між додатним числом і оберненим до нього числом є прикладом обернено пропорційної залежності, бо із збільшенням (зменшенням) одного з них у кілька разів у стільки ж разів зменшується (збільшується) друге з них. Площа квадрата і довжина його сторони не перебувають в жодній з вище названих залежностей, бо із збільшенням (зменшенням), наприклад, довжини сторони квадрата в к разів його площа збільшується (зменшується) не в k разів, а в к² разів.

Такі залежності на множині дійсних чисел дають можливість сформулювати поняття прямої і оберненої пропорційності.

Відношення в множині дійсних чисел, при якому кожному дійсному числу х відповідає дійсне числом таке, що

у = kх,

де к  0 – задане дійсне число, називається прямо пропорційною залежністю між змінними х i у (функцією прямої пропорційності). Областями визначення і значення функції прямої пропорційності є множина дійсних чисел; при k > 0 функція зростаюча, при k < 0 – спадна. Функція прямої пропорційності непарна, бо

k(– х) = – kх. її графіком є пряма, що проходить через початок координат і яка розміщена в першій та третій чвертях, якщо к > 0, і в другій та четвертій чвертях, якщо к < 0 (рис. 1). Функція, що задається формулою

y = kx + b, k, b, x  R,

називається лінійною функцією. Областями визначення і значенням її є множина дійсних чисел, якщо k  0, якщо ж k = 0, то D = R і Е = {b}. Функцію прямої пропорційності можна розглядати як окремий випадок лінійної функції при k  0 і b = 0. Оскільки значення функцій у = kх і у = kх + b відрізняються на число b, то графік лінійної функції можна одержати з графіка функції у = kх зсувом його вздовж осі Оу на b одиниць вгору, якщо b > 0, і вниз, якщо b < 0 (рис. 2).

Відношення у множині дійсних чисел, при якому кожному дійсному числу х відповідає дійсне число y, таке що

де к  0 – задане дійсне число, називається оберненою пропорційною залежністю між змінними х і у (функцією оберненої пропорційності).

Областями визначення і значення функції оберненої пропорційності є множина ]–; 0[  ]0; + [. Функція непарна, бо зростаюча при k < 0 і спадна при k > 0. Графіком функції оберненої пропорційності є крива, яка складається з двох віток і називається гіперболою (рис. 3).