3.3.2. Элементы геометрии потока

Теория потока есть частный случай теории динамических систем¹⁶. Но для наших целей представляется предпочтительным рассмотреть основные вопросы теории потока в той форме, которая ей была придана П.А.Корольковым¹⁷ – в форме теории геометризации исследования динамических процессов.

Поскольку этот подход достаточно мало распространен, мы рассмотрим основные его положения более детально.

1. Особенность геометрии потока в том, что в отличие от геометрии Декарта, которая оперирует величинами двух видов – постоянными и переменными, геометрия потока оперирует величинами трех видов: постоянными, переменными и изменяющимися.

Для примера рассмотрим полное уравнение второй степени:

У Декарта величины - есть постоянные и в зависимости от их значения выражают разные фигуры: окружность, эллипс, параболу, гиперболу и т.д.

В геометрии потока эти коэффициенты изменяются во времени, и соответственно этому на плоскости чертежа осуществляется постоянный переход одной фигуры в другую.

У Декарта не может быть больше трех переменных. Чтобы выйти из положения математика вводит многомерные пространства.

В геометрии потока надобности в многомерных пространствах нет. Она оперирует любым числом изменяющихся и переменных величин.

Исходя из всего сказанного, любой объект исследования геометрия потока рассматривает как поток.

2. Наиболее характерными чертами геометрии потока являются

1) Точка в геометрии потока рассматривается как изменяющая свои размеры величина.

2) Линия рассматривается как изменяющая свою длину не только путем наращивания ее концов, но и путем неравномерного увеличения или уменьшения длины точек, образовавших ее. Исходная форма линии меняется как за счет изменения размеров образовавших ее точек, так и за счет смещения их по нормали или касательной к линии.

3) Поверхность рассматривается в изменении за счет возрастания либо убывания площади точек, составляющих исходную поверхность.

4) Главное содержание геометрии потока - геометрические операции с поверхностями. Особое внимание уделяется топографической поверхности, являющейся однозначной, конечной непрерывно и плавной функцией двух переменных. Топоповерхность сама есть величина постоянно изменяющаяся.

5) В отличие от геометрии Декарта в геометрии потока связь с числами не тождественна. Если у Декарта числовая мера скорости производная от пути по времени, то в геометрии потока в качестве меры скорости изменения какой-либо фигуры используется дивергенция и обратная ей величина – средняя продолжительность существования (жизни) - . Вероятная продолжительность существования есть

3. В буквальном переводе на русский язык термин дивергенция означает «расхождение». Но по смыслу это слово надо переводить как изменение чего-либо на единицу рассматриваемого целого и отнесенное к единице времени.

Согласно такому пониманию дивергенции математически это понятие записывается следующим образом:

или в пределе

(3.76)

где: – обозначение дивергенции; - изменяющаяся величина; - убыль или прибыль изменяющейся величины за данный интервал времени . Размерность дивергенции:

Другими словами, дивергенция есть не что иное, как темп изменения всякой величины , являющейся функцией времени. Из выражения (3.1) видно: темп есть не что иное, как логарифмическая производная от этой величины по времени: .

Обратная ей функция: для .

Если (то есть постоянная), то функция принимает более простой вид: . Иначе говоря, величина, темп которой есть величина постоянная, представляет собой экспоненциальную функцию времени. В частном случае, когда принимает дискретные (целые) значения (1, 2, 3, ....n) величина есть не что иное, как геометрическая прогрессия, со знаменателем .

Приведенное здесь определение понятия дивергенции хотя и не ново, но в современных руководствах по физике и теории поля оно не используется. Ранее подобное определение также использовалось лишь в нескольких руководствах¹⁸.

Тем не менее, это определение нам представляется более удобным по ряду соображений. В дальнейшем в основу нашего подхода к моделированию процессов системной динамики положен принцип уподобления всех процессов потоку жидкости и последующего использования гидродинамических характеристик этого потока в качестве параметров модели¹⁹.

В этой связи рассмотрим важнейшее уравнение гидромеханики – уравнение непрерывности.

или

(3.77)

где - плотность жидкости, которая в общем случае является переменной величиной; - скорость течения жидкости.

Тогда дивергенция поля скоростей потока жидкости:

(3.78)

Таким образом, расходимость (дивергенция) поля скоростей дает относительное изменение плотности элемента жидкости, находящегося в данном месте, - изменение, отнесенное к единице времени²⁰.

Покажем сущность рассматриваемых понятий на примере шара переменного объема (Рис.3.16)

Рис.3.16. Шар переменного объема

Для этого случая:

или

Получаем два равносильных уравнения:

Отсюда следуют два равносильных определения понятия дивергенции:

• Объемный коэффициент расширения, отнесенный к единице времени;

• Скорость изменения объема, отнесенная к единице объема

Аналогично определяется дивергенция площади, длины, массы и проч.

Повторим: для любых процессов (изменений) дивергенция то же, что и скорость для механических перемещений.

Рассмотрим детальнее величину средней продолжительности существования для примера с шаром.

(3.79)

-среднее время существования

Если принять для шара ; , то сек. Иными словами, шар ежесекундно уменьшается на 0,1 от первоначального объема.

В этом случае вероятная есть время, в течение которого шар уменьшается до половины своего первоначального объема, если в каждую оставшуюся секунду он уменьшается пропорционально оставшемуся объему. В принятых допущениях до половины первоначально объема он уменьшится через 6,93 секунды.

4. Рассматривая проблемы теории потока, П.А. Корольков показал, что все разнообразие реальных потоков (например, потоков вещества) есть то или иное сочетание двух его основных видов: потока поступательного (потенциального) состоящего из стоков и источников присущими ему стоками и источниками, и потока вращательного (вихревого) с присущими ему вихрями правыми и левыми. Поток чисто поступательный (без вихрей), либо чисто вращательный (без источников и стоков) – это абстракции, которые в реальности не встречаются.

Стоки, источники, вихри не существуют вечно, а непрестанно возникают, изменяются в период своего существования и заканчивают существование тем или иным образом.

В любом реальном потоке всегда имеет место непрерывное равенство между стоками и источниками в том смысле, что в любой области пространства из всех источников столько же вытекает, сколько поглощается всеми стоками, если иметь ввиду стоки и источники не только внутри области, но и на внутренней стороне ее граничной поверхности. Такое же равенство существует между вихрями правыми и левыми. Это означает, что никакой источник не возникает и не увеличивается, если одновременно не исчезает или не уменьшается один или несколько стоков. Таково же возникновение, увеличение, уменьшение и исчезновение правых и левых вихрей.

Каждая форма потока, включая и рассмотренные потенциальные и вихревые, может быть как периодической (волновой) так и апериодической.

5. Поскольку любой поток по своей структуре слоисто-струйчатый, всегда имеется возможность отобразить его геометрическими линиями тока для струй и изоповерхностями для слоев.

6. Поступательный поток, находящийся в стационарном состоянии (вернее – в некоторый малый интервал времени, когда его можно считать стационарным) геометрически изображается системой не пересекающихся друг с другом неизменных изоповерхностей и системой неизменных линий тока по нормали к этим поверхностям.

Если поток изменяется, то, соответственно изменяются изоповерхности и линии тока.

7. Любое мгновенное сечение (не обязательно плоское) изменяющегося поступательного потока представляет собой изоповерхность.

Векторы, построенные по нормали к изолиниям в зависимости от их направленности относительно изолинии показывают наличие источников или стоков: в случае, если векторы направлены во вне контура изолинии – имеем наличие источника; если векторы направлены внутрь контура – в наличии имеется сток.

8. Исходя из основных положений теории потока, П.А.Корольковым была выдвинута идея о том, что понятие дивергенции может быть распространено и на вихри, поскольку правые и левые вихри можно рассматривать как источники и стоки, но имеющие мнимую дивергенцию.²¹

Для этого П.А.Корольковым была выдвинута гипотеза об умножении какой-либо действительной величины на мнимую единицу как переходе к новому математическому действию – повороту вектора на к его первоначальному направлению. В результате:

• умножение вектора на - означает его поворот на к первоначальному направлению;

• умножение вектора на - означает его поворот на к первоначальному направлению;

• умножение вектора на - означает его поворот на к первоначальному направлению;

• умножение вектора на - означает его поворот на к первоначальному направлению, то есть возврат к исходному состоянию.

К чему это приводит – покажем на рисунке 1.17.

Как видно из рисунка 1.17. последовательное умножение вектора на возрастающие степени мнимой единицы и соответствующие повороты вектора приводит к последовательному преобразованию источника в левый вихрь, сток, правый вихрь, и наконец, снова в источник.

Источник Левый вихрь Сток

Правый вихрь Источник

Рис.3.17. Последовательность действий с мнимой единицей

В общем случае как показал П.А.Корольков комплексный поток есть единство потока потенциального и вихревого, то есть представляет собой поток состоящий из действительной (потенциальной) и мнимой (вихревой) части. Но и тут мнимая часть потока вполне реальна.

9. Все сказанное П.А.Корольков относил к реальным потокам (потокам вещества, по преимуществу). Но по нашему мнению это же можно сказать и о других потоках - информационных, финансовых и иных.

Таким образом, при исследовании любого потока выделяются такие его составляющие, как источники (начальные точки) и стоки (конечные точки), правые и левые вихри. Кроме того, рассматриваются: траектория движения элементов потока, скорость, время, длина пути, интенсивность потока и некоторые другие.

Интенсивность потока, понимаемую как количество элементов потока, проходящих через единичную поверхность в единицу времени (нашем случае это можно интерпретировать как количество элементов потока, входящих или исходящих из системы в единицу времени) в дальнейшем мы будем рассматривать как мощность потока.

10. Рассмотрим детальнее понятие вихря.

В физике под вихревым движением понимается движение жидкости или газа, при котором их малые элементы (частицы) перемещаются не только поступательно, но и вращаются около некоторой мгновенной оси. Подавляющее большинство течений сплошных сред, которые происходят в природе или осуществляются в технике, представляют собой вихревое движение.

Напомним некоторые определения.

Количественно вихревое движение характеризуется вектором ²² угловой скорости ( ) вращения частиц, который зависит от координат точки в потоке и от времени. Вихрь (ротор) есть векторная характеристика «вращательной» составляющей векторного поля и связан с угловой скоростью соотношением:

.

(3.80)

Вихри скоростей образуют векторное поле, в котором могут быть выделены векторные линии и векторные трубки. Линия, в каждой точке которой вихри вектора скорости или вектора угловых скоростей вращения частиц касательны к ней, называется вихревой линией. Если в пространстве, заполненном вихрями, взять некоторый замкнутый контур (не являющийся вихревой линией) и через каждую точку этого контура провести вихревые линии, то образуется вихревая поверхность. Часть жидкости (или иной вращающейся среды), ограниченная этой поверхностью называется вихревой трубкой. (рис. 19.)

Рис.3.18. Вихревая трубка.

Из векторного анализа известно, что поток вектора через замкнутую поверхность, внутри которой нет источников или стоков, равен нулю, то есть, жидкость не может перетекать сквозь вихревую поверхность.

Выделим в вихревой трубке некоторую замкнутую поверхность, образованную двумя любыми поперечными сечениями и и боковой поверхностью

Из того факта, что поток вихря через поверхность равен нулю, вытекает следующее свойство вихревых трубок, известное как вторая теорема Гельмгольца: поток вектора вихря скорости сквозь произвольно проведенное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки.

То есть поток вихря есть величина, характерная для всей вихревой трубки.

Если величина вихря постоянна по поперечному сечению вихревой трубки, то вторую теорему Гельмгольца можно записать в виде:

.

(3.81)

Произведение есть интенсивность или напряжение вихревой трубки, которая постоянна по всей ее длине.

Отсюда вытекают два важных для дальнейшего следствия:

1) Сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, поскольку в этом случае скорость вращения частиц должна стать бесконечно большой, что физически невозможно.

2) Вихревые трубки не могут начинаться и заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на самих себя, либо опираются на стенку или свободную поверхность.

Этим в частности объясняется резкое закручивание жидкости при вытекании из сосуда большого объема через относительно малое отверстие.

Как можно применить эти понятия к анализу процессов в социально-экономических системах?

Если рассматривать экономику страны как вихревую трубку, а скорость оборота денег – как окружную скорость, то можно сделать вывод, что сужение экономического пространства приводит к резкому возрастанию скорости обращения денег, и наоборот. Так, например, если в 1990 году скорость оборота денег в России составляла 1,4 раза, то к 1995 году она возросла до 8,1 раза, то есть рост почти в 5,8 раза. Сопоставляя рост скорости денежного оборота с динамикой падения объемов производства в России за эти же годы и нарастающие процессы перетока капиталов из производственной сферы в финансовую - можно увидеть, что эти данные довольно хорошо согласуются между собой.