13. Алгоритм использования корректирующего кода.

На стороне ИС

1. Построить проверочную матрицу H_n,k для заданного k (Х_k)

2. Вычислить символы избыточного слова Х_r (на основе (6) )

3. Cформировать кодовое слово Х_n = х₁,х₂,…,х_k,x_k+1,…x_k+r и осуществить его передачу

На стороне ПС

1. Получение сообщения (Y_n = y₁,y₂,…,y_k,y_k+1,…y_k+r )

2. Вычисление синдрома (на основе (5) ), используя ту же H_n,k :

S =H^T *Y_n = H *(Y_n)^T =H^T *(Х_n +E_n) =H^T *Х_n + H^T *E_n = H^T *E_n (10)

для этого вычисляем Y_r^’= y_ri^’ : y_ri^’ = y_k+i ^‘= Σ h_ij *y_j (11)

и далее: S = s₁,s₂,…s_r , где s_i = y_k+i + y_ri^’ (12)

4. Анализ (декодирование синдрома) – определение местоположения ошибочного бита (E_n посредством S h_m )

5. Исправление ошибки: Х_n = Y_n + E_n

14. Декодирование кодовых слов. Поиск и исправление ошибок.

Задача приемной стороны — анализ принятой последовательности. Этот процесс опирается на следующий математический факт:

Это соотношение с точностью до множителя повторяет соотношение для кодирования, эти два соотношения основаны на использовании одной и той же матрицы Н. Если то два этих соотношения идентичны, если же X_n≠Y_n то Y_n можно представить как , где Е — двоичный вектор, вектор ошибки.

К примеру:

Вес — количество ошибок, появившихся в процессе передачи с учетом вектора Е.

где S — значение синдрома

Показателем качества передачи информации является r-разрядный двоичный вектор S, который называется синдромом ошибки.

В соответствии с формулами, приведенными выше, если ошибок нет (t=0), то и синдром должен быть тождественно равен нулю. Т.о. если вес синдрома равен нулю, то ошибок нет.

Если же произошла одиночная ошибка то синдром в соответствии с формулами равен вектор столбцу подматрицы А или I.

Практический алгоритм вычисления синдрома

1. Используя полученный символы Y_k, на основе заданной матрицы H_nk, вычисляют проверочный символ Y_n.

2. — вычисляем синдром

3. Анализируем синдром и в соответствии с результатом анализа предпринимаем последующие действия.

В зависимости от корректирующей способности кода, после анализа синдрома при наличии ошибок принимается решение об их исправлении, если позволяет код, либо о повторной передаче информации, если код не позволяет исправить ошибку. Формально корректирующие способности кода определяются минимальным кодовым расстоянием.

15. Код Хэмминга с минимальным кодовым расстоянием d_min=3.

Данный код характеризуется минимальным кодовым расстоянием d_min = 3. При его использовании кодирование сообщения также должно удовлетворять соотношению (3.4). Причем вес столбцов подматрицы А должен быть больше либо равен 2. Второй особенностью данного кода является то, что используется расширенный контроль четности групп символов информационного слова, т. е. r > 1. Для упрощенного вычисления r можно воспользоваться следующим простым соотношением:

Вычислим проверочные символы в соответствии с (3.4):

(3.10)

Определим синдром:

Пример 3.6. Имеется информационное слово X_k = 1001. Проанализируем использование рассматриваемого кода.

Для начала отмечаем, что k = 4. В соответствии с (3.8) подсчитываем длину избыточного слова: r ≥ log₂(4 + 1) = 3, тогда n = k + r = 7.

Создаем проверочную матрицу Н_7,4:

.

Вычисляем проверочные символы, используя (3.10).

В соответствии с этим первый проверочный символ х_r1 будет равен 1, остальные – нулю:

Таким образом, избыточное слово будет таким: X_r = 100, а кодовое слово – X_n = 1001 100.

Рассмотрим ситуацию, когда ошибок в переданной информации нет, t = 0, т.е. X_n = Y_n=1001 100

Вычислим новый набор проверочных символов в соответствии с (3.11) и синдром:

Y ^΄_r=100,

Нулевой синдром означает безошибочную передачу (или прием) информации.