2. Порядок выполнения домашнего задания

1. Для нескорректированной системы найти дискретную передаточную функцию разомкнутой системы W_нс(z) и W_нс().

2. Определить критическое значение передаточного коэффициента непрерывной части нескорректированной системы К_кр.

3. Рассчитать весовую решетчатую функцию разомкнутой нескорректированной системы w_нс[i] при К = 0,5К_кр. Построить график функции w_нс(t).

4. Рассчитать и построить логарифмические псевдочастотные характеристики нескорректированной разомкнутой системы при К = 0,5К_кр. Подтвердить правильность расчетов.

5. Рассчитать дискретную передаточную функцию последовательного корректирующего звена W_k(z), обеспечивающего в замкнутой системе переходный процесс минимальной длительности при отсутствии установившейся ошибки. Составить уравнение алгоритма цифровой реализации корректирующего звена.

6. Рассчитать и построить переходную функцию h(t) замкнутой скорректированной системы.

3. Методические указания

Указания даются по каждому из пунктов задания, при этом сохраняется порядок их следования. Анализ и синтез цифровой системы рекомендуется проводить методами теории импульсных САУ.

1. Импульсным элементом в данной системе следует считать ЦАП, так как на его выходе ступенчато изменяющийся сигнал u(t) эквивалентен последовательности прямоугольных импульсов с длительностями, равными периоду квантования Т₀.

Следовательно, ЦАП работает как фиксирующий импульсный элемент и осуществляет амплитудно-импульсную модуляцию первого рода с единичным коэффициентом преобразования. Такой импульсный элемент называют также экстраполятором нулевого порядка. Его описание приводится к расчетной схеме с идеальным импульсным элементом (ИИЭ) и формирующим звеном, который имеет передаточную функцию

Расчетная схема нескорректированной системы представлена на рис. 2. Здесь W_ф(s) и W(s) - передаточные функции формирующего звена и непрерывной части соответственно.

На выходе ИИЭ указан сигнал *(t), который представляет последовательность идеальных импульсов, интенсивности (площади) и полярности которых определяются решетчатой функцией [i]:

^*(t) = i(t – iT₀)

Рис. 2. Расчетная схема нескорректированной системы

В работе необходимо использовать передаточную функцию приведенной непрерывной части нескорректированной системы

.

Пользуясь правилами определения дискретной передаточной функции разомкнутой нескорректированной системы с учетом формирователя и таблицей z-преобразований, можно получить выражение для W_нс(z) в общем виде:

где К - коэффициент непрерывной части (пока численно не определен), .

Таким образом структурную схему нескорректированной системы (для моментов съема) можно представить в виде рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема нескорректированной системы

2. Применяя билинейное преобразование, найдите выражение передаточной функции разомкнутой нескорректированной дискретной системы в зависимости от переменной ρ:

W_нс(ρ)=R_нс(ρ)/Q_нс(ρ).

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать в виде

Q_з(ρ)=R_нс(ρ)+Q_нс(ρ).

Определите величину К_кр, используя алгебраический критерий Гурвица.

3. Значения дискрет весовой решетчатой функции w_нс[i] могут быть найдены по передаточной функции разомкнутой дискретной системы W_нс(z), которую необходимо для этого представить в виде числового ряда по отрицательным степеням z:

W_нс(z)= w_нс[0]+w_нс[1]z ^-1+w_нс[2]z ^-2+… .

Такое представление можно получить, например, в результате числен­ного деления полинома R_нс(z) на Q_нс(z).

4. Для расчета псевдочастотных характеристик используйте выражение W_нс(ρ)=R_нс(ρ)/Q_нс(ρ), которое целесообразно привести к виду

W_нс(ρ)= K(τ₁ρ+1)(1-ρ)/2ρ(τ₂ρ+1).

После подстановки К=0,5К_кр и ρ=i v, где v - псевдочастота, рассчитайте псевдочастотные характеристики. Постройте эти характеристики.

Подтвердите правильность расчетов, до­казав по критерию Найквиста, что характеристики соответствуют устойчивой замкнутой системе, имеющей двукратный запас устойчивости по ко­эффициенту усиления.

5. Требуемая передаточная функция корректирующего эвена W _к(z) определяется формулой

W _к(z)= Q_нс(z)/(zⁿ R_нс(1) - R_нс(z)),

где R_нс(z) и Q_нс(z) - полиномы передаточной функции разомкнутой дискретной системы W _к(z),

n - сте­пень полинома Q_нс(z),

R_нс(1) = R_нс(z)| _z=1.

Найдите передаточную функцию дискретного корректирую­щего звена и, разделив числитель и знаменатель полученного выражения на (z – 1), представьте W _к(z) в виде

W _к(z)=K_o(z+b₁)/K(z+b₂).

Здесь величины К_о, b₁, b₂ определяются численно, а коэффициент усиления непрерывной части К можно принять равным К_о, в результате чего получаем удобную для реализации функцию

W _к(z)=(z+b₁)/(z+b₂).

Структурная схема скорректированной системы приведена на

рис. 4.

Рис. 4. Структурная схема скорректированной системы

С целью получения алгоритма цифровой реализации звена с передаточной функцией W _к(z) запишем определяемые ею соотно­шения для изображений и :

,

.

Перейдя к оригиналам - решетчатым функциям, найдите искомый алгоритм реализации цифрового корректирующего звена в виде формулы для вычисления текущих значений скорректированного сигнала ψ[i].