2.4). Записать приращение функции f(X)∈c2(En) в точке X через градиент и матрицу Гессе.
С
помощью градиента и матрицы Гессе,
используя разложение в ряд Тейлора,
приращение функции f(x)
может быть записано в форме:
,
где
- сумма всех членов разложения, имеющих
порядок выше второго,
- квадратичная форма.
2.5). Какие направления дифференцируемой в точке xk функции f(X) называются направлениями убывания? Каков геометрический смысл направления убывания?
Направление
вектора pk
называется
направлением
убывания функции
f(x)
в точке xk,
если при всех достаточно малых
положительных α выполняется неравенство
.
Теорема
(достаточное
условие направления убывания). Пусть
функция f(x)
дифференцируема в точке xk.
Если вектор pk
удовлетворяет условию
,
то направление вектора pk
является направлением убывания.
Функция диффер.
при всех достаточно малых α>0, т.е.
вектор pk
задает направление убывания функции
f(x)
в точке xk.
2.8). Описать алгоритм графического решения задачи линейного программирования.
1) Изобразить полуплоскости, которые определяют неравенства
2) Изобразить множество точек, принадлежащих всем полуплоскостям - многоугольником решений.
3)Задача л.п. состоит в нахождении вершины многоугольника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение. Такая вершина существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху.
4) Построим линию уровня с1х1+с2х2=h, проходящую через многоугольник решений, перемещаем ее в направлении вектора С=(с1;c2), до тех пор, пока она не пройдет через последнюю общую точку с многоугольником решений. Координаты этой точки и определяют оптимальный план задачи. Вычисляем значение функции в этой точке.
Вариант 8
2.1). В чем заключается классический метод минимизации функций? Для каких целей разработан классический метод минимизации функций? Какова практическая ограниченность применимости этого метода?
Алгоритм минимизации f(x) на отрезке [a,b] классическим методом:
1). Находим все точки возможного экстремума функции f(x) на интервале (a,b), т.е. корни уравнения f’(x)=0.
2). Стационарные точки исследуем в соответствии с достаточными условиями экстремума, выделяя из них точки локального минимума.
3). Значения в точках локальных минимумов и на концах отрезка [a,b] сравниваем между собой. Наименьшему из вычисленных значений соответствует точка глобального минимума f(x) на [a,b].
Ограниченность:Т.к. выполнение пункта 2 функции для f(x), дифференцируемой достаточное количество раз требуется вычисление высших производных функции f(x), в большинстве случаев бывает проще сравнить значения во всех стационарных точках, не интересуясь их характером. С учетом этого разработан классический метод минимизации функций, где сравниваются значения функций во всех стационарных точках и на концах отрезка.
2.2). Зависит ли точность определения X*, которую получают методом парабол в результате n вычислений функции f(X), от конкретной функции f(X)?
Зависит. Точка х* определяется как вершина параболы, которой мы пытаемся аппроксимировать ф-ю f(x). Очевидно, что есть функции график которых не похож на параболу и для них погрешность определения минимума будет велика, для функций чей график парабола она будет нулевой на одну итерацию (т.е. 4 вычисления функции).