2.4). Классифицировать квадратичную форму и матрицу Гессе .

1. Выпишем квадратичную форму – квадратичная форма положительно определена → H(x)>0

2. Выпишем квадратичную форму

– квадратичная форма положительно определена → H(x)>0

2.5). Какая последовательность {x_k}, k=0,1,2… называется минимизирующей? Привести пример минимизирующей последовательности, не сходящейся к точке минимума.

Последовательность {x_k}, удовлетворяющая требованию: (U*-мн-во точек глобального минимума)

, называется минимизирующей для функции f(x).

Пример: Для функции , последовательность x^k=k является минимизирующей, но не сходится к единственной точке минимума x*=0. Напротив, минимизирующая последовательность x^k=1/k сходится к точке минимума x*=0.

2.8). Какие задачи линейного программирования можно решить графически?

Л.п. – задача нахождения экстремума функций на множестве линейных уравнений и неравенств.

Те у которых непустое множество планов. Непустое множество планов общей (основной) задачи линейного программирования называется многогранником решений. Если основная задача л.п. имеет оптимальный план, то максимальное значение целевая функция принимает в одной из вершин многогранника решений.

Общей (основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (целевая функция) при выполнении условий: - ограничения данной задачи.

Вектор X=(x₁, x₂,…,x_n)^T, удовлетворяющий ограничениям задачи, называется допустимым решением, или планом. План X*=(x₁*, x₂*,…,x_n*)^T, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Вариант 5

2.1). Сформулировать свойства функций, удовлетворяющих на отрезке [a;b] условию Липшица.

Условие Липшица: |f(x’)-f(x”)|≤L|x’-x”| для всех x’ и x”, принадлежащих [a,b].

1)Если усл.Липшица выполняется с константой L, то оно справедливо и для всех L’≥L. Поэтому для функции, удовлетворяющей условию Липшица, существует бесконечное множество констант L.

2)Из условия Липшица следует непреf(x) на отрезке [a,b]. Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, функция f(x), удовлетворяющая на отрезке [a,b] условию Липшица, имеет на нем хотя бы одну точку минимума, хотя не является унимодальной.

3)|f(x’)-f(x”)|/|x’-x”|≤L, перейдя к пределу x’->x” получим, что f’(x)<L – ограниченность производной.

4)Если функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную, то она удовлетворяет на этом отрезке условию Липшица с константой .

2.2). Требуется найти точку минимума унимодальной функции на отрезке длины 1 с точностью ε=0,02. Имеется возможность измерить не более 10 значений f(x). Какой из прямых методов минимизации можно использовать для этого?

Число итераций, необходимое для достижения заданной точности ε на отрезке [a;b] в методе золотого сечения определяется формулой . Количество вычислений функции N=n+1=8.

Число итераций, необходимое для достижения точности ε на отрезке [a;b] в методе дихотомии определяется формулой

Ответ: можно использовать метод золотого сечения.