Методы оптимизации. Тест

Вариант 1

2.1). Что означает слово «оптимизация»? Какая функция называется целевой? Дать определение локального и глобального минимумов функции.

Оптимизация - поиск наилучшего варианта с точки зрения намеченной цели. Многие задачи оптимизации сводятся к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую называют целевой функцией.

Число x*∈ U называется точкой глобального (абсолютного) минимума или просто точкой минимума функции f(x) на множестве U, если f(x*)≤f(x) для всех x∈ U. Множество всех точек минимума f(x) на U будем в дальнейшем обозначать через U*.

Число ~x∈U называется точкой локального минимума функции f(x), если f(~x)≤f(x) для всех x∈ U, достаточно близких к x~, т.е. если существует ε>0 такое, что это неравенство выполняется для любого x∈ {x∈U, |x-x~|<ε}.

2.2). Сравнить необходимые количества вычисленных значений Nd и Nn функции f(X) при поиске ее точки минимума на отрезке длины 1 с точностью 10-5 методом деления отрезка пополам и методом перебора.

Точность решения ε(N), которую обеспечивает метод перебора в результате N вычислений f(x):

Точность решения ε(N), которую обеспечивает метод дихотомии в результате N вычислений f(x):

2.3). Сформулировать достаточные условия сходимости метода Ньютона.

f(x) − трижды непрерывно дифференцируемая выпуклая функция, разложим f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x_k,, x*-искомый корень:

.

Разделим на f”(x_k): , отсюда следует оценка:

т.е.зависит от выбора точки начального приближения х0

2.4). Сформулировать необходимые и достаточные условия безусловного экстремума функции f(X) одной переменной.

Из математического анализа известны условия локального экстремума функции f(x), дифференцируемой достаточное количество раз.

1. Если функция f(x) дифференцируема в точке x~ и достигает в ней локального экстремума, то f’(x~)=0 (необходимое условие экстремума).

2. Пусть функцияf(x) n раз дифференцируема в точке x~ и в этой точке все производные до n-го порядка включительно равны нулю, а n-ая производная не равна нулю. Тогда, если n − нечетно, то точка x~ не является точкой локального экстремума функции,а если же n − четное число, то:

а) при f⁽ⁿ⁾(x~)>0 x~ –точка локального минимума f(x);

б) при f⁽ⁿ⁾(x~)<0 x~ –точка локального максимума f(x);

(достаточные условия экстремума).

2.5). Функции какого вида называются квадратичными функциями n переменных?

. Положив получим симметрическую матрицу А=(a_ij), тогда можем данное выражение записать в виде где b=(b₁,…,b_n)^T∈E_n–вектор коэффициентов, x=(x₁,…,x_n)^T;(x,y)-скалярное произведение векторов x,y∈En.

2.8). Дать определение общей задачи линейного программирования.

Линейное программирование − математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств.

Общей (основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (целевая функция) при выполнении условий: - ограничения данной задачи.

Вектор X=(x₁, x₂,…,x_n)^T, удовлетворяющий ограничениям задачи, называется допустимым решением, или планом. План X*=(x₁*, x₂*,…,x_n*)^T, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Вариант 2