8.Расчет пластин при граничных условиях Навье, случаи нагружения пластины сосредоточенной и распределенной нагрузкой.
. Пример1 ( постоянная нагрузка.)
I=1
I=2
I=3
Пример2.(точечное приложение силы)
-дельта
функция Дирака.
. Пример3.(пятно нагрузки).
Аналогично предыдущим примерам.
9.Собственные колебания пластины шарнирно опертой по всему контуру. Нормирование форм колебаний по массе.
-инерционная
нагрузка.
– плотность,
– толщина.
Собственные колебания.
-уравнение
собственных колебаний.
Функцию
-будем
искать методом подбора (угадывания).
квадрат
частоты собственных колебаний.
Условия нормировки.
10.Расчет пластин при граничных условиях Леви.
Условия Леви: шарнирное опирание по 2-м противоположным кромкам.
После преобразования получаем:
-общее
однородное решение.
{В лекциях:
,
часть с
от кратных корней}
11.Расчет пластин методом конечных разностей. Аппроксимация производных. Граничные условия. Законтурные точки.
П
роизводные,
входящие в дифференциальные уравнения
и граничные условия заменяются
приближенными (конечно-разностными)
выражениями (метод сеток).
Краевая задача сводится к решению системы алгебраических уравнений. Неизвестными являются перемещения в узлах сетки.
Формулы разностной аппроксимации:
-аппроксимация
назад.
-
аппроксимация вперед.
-центральная
аппроксимация.
Для того чтобы
можно было воспользоваться уравнением
Софи-Жермен:
,
найдем четвертую производную от W.
Определим смешанную производную в площадке 2h x 2s:
Структура шаблона:
Порядок аппроксимации:
Следовательно,
аппроксимируют 1-й производной с
погрешностью порядка шага.
Аналогично:
Аппроксимируют с погрешностью квадрата шага
При
формулы разностной аппроксимации
стремятся к точным значениям производных.
Граничные условия. Законтурные точки.
Структура шаблона для разностной аппроксимации бигармонического оператора:
Прогибы в контурных точках исключаются с помощью граничных условий.
=>
Результат:
Общее число неизвестных = числу внутриконтурных точек.
Краевая задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей.
Сосредоточенные силы размазываются по площадке.
Теорема Лакса-Вендорфа:
Чтобы конечно-разностное решение сходилось к точному должны выполняться условия аппроксимации и устойчивости.
12.Расчет тонких ортотропных пластин. Физические уравнения. Связь погонных усилий с перемещениями.
Ортотропные пластины – пластины выполнены из ортотропного (частный случай анизотропного) материала, т.е. из материала имеющего 3 плоскости симметрии упругих свойств.
Запишем уравнения закона Гука для ортотропного материала.
Из (*) следует:
Свойство упруго симметрии:
Физические уравнения.
Вводим в рассмотрение погонные силовые факторы(только моменты).
Геометрические уравнения:
-каппа)))
Используя геометрические уравнения классической теории пластин, получим физические уравнения:
Аналогично:
,
где
Найдем крутящий момент.
,
где
13.Разрешающие уравнения теории ортотропных пластин в перемещениях. Конструктивно-ортотропные пластины.
Для получения разрешающего уравнения воспользуемся уравнениями равновесия, физическими уравнениями и геометрическими:
Физические уравнения:
, где
, где
, где
Геометрические уравнения:
Уравнения равновесия.
-разрешающее
уравнение классической теории изгиба
ортотропных пластин.
,
Конструктивно-ортотропные пластины.
Расчетная схема для пластин, подкрепленных частым силовым набором – конструктивно-ортотропные пластины.
Где
-
жесткости на кручение.
14.Теория пластин Тимошенко. Основные гипотезы.
Основные гипотезы:
1)Материальный элемент, нормальный к срединной плоскости пластины до деформации, после деформации остается прямым и не изменяет своей длинны, но может быть ненормальным к деформации серединной плоскости.
2)Нормальными напряжениями в слоях параллельных серединной плоскости можно пренебречь по сравнению с другими компонентами тензора напряжений.
Распределение перемещений по толщине пластины:
Из 1-й гипотезы:
-
постоянная по толщине пластины.
- поворот вокруг оси у.
- поворот вокруг оси х.
Из 2-й гипотезы:
