Кут між кривими на поверхні

Нехай – регулярна поверхня з вектор-функцією , і проходять через точку Р. Кутом між кривими та у точці P називається кут між дотичними цих кривих у точці Р. Позначимо цей кут через .

Нехай , – внутрішні рівняння і .

– вектор-функція кривої . – вектор-функція кривої . Тоді , – напрямні вектори. Припустимо, що значенню параметра відповідає точка : . Оскільки , тобто диференціал вектор-функції і її похідна є колінеарними векторами, то

(1)

(2)

(3)

(4)

Ці вирази отримані за правилами обчислення скалярних добутків з урахуванням того, що .

Підставляючи (2), (3), (4) в (1) отримаємо формулу для обчислення кута між кривими на поверхні :

(5)

Оскільки криволінійні координати у вектор-функції (5) відповідають точкам кривих і , то

Підставляючи ці значення у (5), після скорочень у чисельнику та знаменнику маємо: .

Через кожну точку P поверхні проходять дві координатні лінії, що визначають напрямки . Знайдемо кут між ними. Підставляючи формули у (2), (3), (4), маємо:

.

Підставляючи отримані значення у (5), маємо:

– для координатних ліній. Звідси, координатні лінії в точці P є перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли у цій точці .

Площа простого шматка регулярної поверхні

Нехай – регулярна поверхня, П – простий шматок поверхні, тоді П є гомеоморфним в деякій області G на площині криволінійних координат . Оскільки G є обмеженою, то її можна вписати у деякий прямокутник. Цей прямокутник можна розбити на менші прямокутники з довжиною сторін . Ці прямокутники відобразяться у криволінійні паралелограми. Нехай точка P – вершина паралелограма. Нехай вектор-функція поверхні . Координати відповідають точці Р: . Тоді ближнім вершинам будуть відповідати вектори . Розглянемо плоский паралелограм з цими вершинами, він буде побудований на векторах:

(1)

Позначимо площі плоских паралелограмів (2)

За означенням площі шматка поверхні П: (3)

Покажемо, що у випадку регулярної поверхні границя (3) існує і знайдемо формули для її обчислення. Згідно формули ряду Тейлора:

(4)

Підставляємо (4) в (2), отримаємо:

(5)

Використовуючи лінійності векторного добутку, отримаємо:

(6)

де (7)

Оскільки для будь-яких векторів виконується нерівність , то з (6), з урахуванням рівності (5) випливає:

Ця нескінченно мала функція є сумою нескінченно малих, звідси:

(8)

Підсумувавши отримаємо за означенням:

.

Припустимо, що має місце твердження:

(*)

З урахуванням припущення ми бачимо, що існує таке розбиття області G, таке що . Тому

,

де С – площа прямокутника, який вписано в G. Оскільки – скільзавгодно мале число, то .

Таким чином

. (9)

Залишилось довести тільки припущення (*). Враховуючи (8), нам достатньо довести що

З (7) випливає:

(10)

Тому достатньо довести, що виконується твердження:

,

де – доданки з правої частини нерівності (10).

Розглянемо це твердження для першого доданку:

.

Оскільки – неперервний на обмеженій замкненій множині , тому є обмежений на . Тобто .

.

Таким чином нам достатньо довести наступне твердження:

.

Розглянемо співвідношення (4):

.

Згідно теореми про середнє значення регулярної функції:

.

Отримаємо:

Оскільки функція неперервна на замкненій обмеженій множині , то вона рівномірно неперервна на множині . А це означає, що

(11)

Тоді з (11) випливає . Тим самим твердження повністю доведено.

Теорема: Нехай – регулярна поверхня з вектор-функцією , П – простий шматок цієї поверхні, тоді площа шматка П обчислюється за формулою:

(12)

де – коефіцієнти I квадратичної форми.

Доведення: Згідно формули (9) нам достатньо довести , що

(13)

Згідно формули для обчислення векторного добутку маємо, що

.

Тоді за формулою (9):

.

Наслідок: Нехай поверхня задана явним рівнянням , П – простий шматок поверхні , що відповідає області на координатній площині . Тоді площа шматка П:

.

Доведення: За формулою (13) нам достатньо довести, що

.