Криві та поверхні. Напрямки на поверхні.

Нехай – поверхня, – її вектор-функція, – крива, що лежить на поверхні, – вектор-функція кривої . Тоді кожному значенню параметра відповідає точка P з криволінійними координатами . Отримали залежність криволінійних координат кривої на від параметра :

(1)

– цю систему рівнянь називають внутрішнім рівнянням кривої на поверхні . При цьому вектор-функцію кривої можна виразити через вектор-функцію поверхні . Таким чином: . Причому похідна вектор-функції кривої (тобто напрямний вектор дотичної) можна виразити наступним чином: (2)

Напрямок цього вектора називається напрямком кривої на поверхні . При фіксованій точці Р, напрямний вектор дотичної кривої у точці P є компланарним до . Таким чином напрямний вектор дотичної кожної кривої , що лежить на поверхні і проходить через точку P (дотична кривої розглядається у точці Р), лежить у площині, що проходить через точку Р, і є паралельний до . Оскільки поверхня регулярна то не є паралельними, тому ця площина визначається однозначно.

Будемо вважати, що точка P – фіксована, рівняння (1) виражають залежність та від . Тому:

,

помножимо рівняння (2) на , отримаємо: . У лівій частині цього рівняння знаходиться диференціал вектор-функції кривої , а у правій частині – диференціал вектор-функції поверхні ( у цьому рівнянні – довільні дійсні числа, що можуть приймати скільзавгодно малі значення).

Вектор-диференціал ,а значить визначає напрямок кривої на поверхні . Тому рівняння (3) показує, що напрямок будь-якої кривої на поверхні лінійно виражається через частинні похідні вектор-функції поверхні у точці Р. Оскільки у фіксованій точці P вектори є також фіксованими, то цей напрямок залежить тільки від чисел , а точніше від співвідношення . Співвідношення при фіксованій точці P називається напрямком на поверхні від точки Р.

Припустимо, що має криволінійні координати. Тоді вектор-функції , залежать від одного параметра, а тому визначають криві, що лежать на поверхні . Ці криві мають внутрішні рівняння: , . Легко бачити, що ці криві проходять через точку Р. Ці криві називають координатними лініями на поверхні , що проходять через точку Р. Координатні лінії визначають головні напрямки на :

.

Дотична площина та нормаль поверхні.

Нехай – регулярна поверхня з вектор-функцією , P є , тоді не є паралельними.

Площина D, що проходить через точку Р, паралельно до називається дотичною площиною .

Оскільки поверхня регулярна, то дотична площина визначена в будь-якій її точці (як було показано у попередньому параграфі). Дотична у точці P будь-якої кривої, що лежить на поверхні і проходить через точку Р, лежить у дотичній площині поверхні у точці Р. Пряма , що проходить через точку P є , перпендикулярно до D називається нормаллю поверхні у точці Р. Знайдемо рівняння дотичної площини та нормалі поверхні при різних аналітичних заданнях :

1. Припустимо, що поверхня задана параметричним рівнянням . Припустимо , що точка P має криволінійні координати і декартові координати , координати частинних похідних вектор-функції: (1).

Оскільки дотична площина проходить через точку P паралельно векторам , то її рівняння має вигляд: .

Знайдемо рівняння нормалі поверхні у точці Р. Оскільки вектори не перпендикулярні, то згідно означення векторного добутку , перпендикулярний , тобто перпендикулярний до дотичної площини D у точці Р. Тому цей вектор є вектором нормалі поверхні у точці Р. За допомогою (1) знайдемо його координати:

.

Тоді канонічне рівняння нормалі:

.

2. Припустимо поверхня задана неявним рівнянням: , . Оскільки , то має місце тотожність . Продиференціюємо цю тотожність:

(2)

де – значення параметру, що відповідає точці Р. Вектор називається градієнтом поверхні у точці Р.

Оскільки вектор є направляючим вектором дотичної кривої у точці Р, то рівняння (2) показує, що скалярний добуток градієнта і вектора дотичної дорівнює нулю. Тобто градієнт є ортогональним до дотичної будь-якої кривої у точці Р, що лежить на поверхні і проходить через точку Р.

Як було показано раніше, усі ці дотичні лежать у дотичній площині поверхні у точці Р. Таким чином градієнт поверхні у точці P є ортогональним до дотичної площини поверхні у точці Р, тобто градієнт у точці P – це напрямний вектор нормалі поверхні у точці Р.

Нехай P має декартові координати , тоді загальне рівняння дотичної площини поверхні у точці P має вигляд:

.

А канонічне рівняння нормалі має вигляд:

.